Allemaal Getallen Index 0067

$67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}33+34$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+11+13+17+19$ (som van opeenvolgende priemgetalllen)

$67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;3;3;7)\,(1;1;1;8)\,(1;1;4;7)\,(1;4;5;5))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#4\}$

$67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+2^3+3^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,((0;0;0;0;0;1;1;1;4)\,(0;0;0;2;2;2;2;2;3)\,(0;1;1;1;1;1;2;3;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#3\}$

$67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^0+2^1+2^6$

$67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^2+2*3^2$

$67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\sqrt{9!/(9*9)+9}$

$67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}fibonacci_{(7,4)}[7]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}26+41$

$67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tribonacci_{(0,3,7)}[7]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10+20+37$

$67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tetranacci_{(0,0,5,4)}[8]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+9+18+36$

$67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}23^3-110^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{34^2-33^2}$

67.1

$67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$(som van drie derdemachten)

$\qquad\;\,$References Sum of Three Cubes

$\qquad\;\,$Getallen van de vorm $~9m+4~$ of $~9m+5~$ kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

$\qquad\;\,$In dit geval is $m\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7~~(+4)$.

$67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$(som van vier derdemachten)

$\qquad\;\,(z\gt1000)$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{1^3+1^3+1^3+4^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{4^3+4^3+4^3+(-5)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-5)^3+16^3+16^3+(-20)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-23)^3+31^3+76^3+(-77)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-65)^3+76^3+115^3+(-119)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{19^3+94^3+124^3+(-140)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{28^3+118^3+118^3+(-149)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-14)^3+(-53)^3+(-158)^3+160^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-116)^3+139^3+145^3+(-161)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-20)^3+46^3+172^3+(-173)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-29)^3+55^3+217^3+(-218)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-20)^3+(-173)^3+(-194)^3+232^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-77)^3+(-200)^3+(-212)^3+262^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-131)^3+211^3+235^3+(-272)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-155)^3+217^3+328^3+(-347)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-29)^3+178^3+334^3+(-350)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-152)^3+(-185)^3+(-395)^3+415^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{37^3+298^3+361^3+(-419)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-119)^3+325^3+349^3+(-422)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{208^3+241^3+385^3+(-431)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{154^3+286^3+475^3+(-512)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-104)^3+211^3+520^3+(-530)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-224)^3+355^3+556^3+(-590)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-104)^3+(-164)^3+(-605)^3+610^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-323)^3+(-365)^3+(-533)^3+616^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-50)^3+(-182)^3+(-638)^3+643^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-77)^3+(-212)^3+(-641)^3+649^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-245)^3+586^3+607^3+(-743)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{241^3+481^3+658^3+(-743)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{340^3+(-587)^3+(-647)^3+757^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{103^3+103^3+853^3+(-854)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{49^3+(-170)^3+(-893)^3+895^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{46^3+379^3+898^3+(-920)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{499^3+(-698)^3+(-908)^3+988^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-242)^3+586^3+931^3+(-998)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{784^3+(-932)^3+(-989)^3+1090^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,(z\gt1000)$

$67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$(som van vijf vijfdemachten)

$\qquad\;\,$(fully searched up to $z=1000)$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{1^n+1^n+1^n+2^5+2^5}~~(n\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{73^5+(-101)^5+(-151)^5+(-229)^5+235^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{15^5+(-182)^5+205^5+424^5+(-425)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{575^5+(-747)^5+(-930)^5+(-961)^5+1110^5}$

67.2

$67^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2245^2-2244^2~~$ (enige oplossing met limieten grondtal $9999$ en exponent $19$ )

$67^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{2278^2-2211^2}~~$ (enige oplossing met limieten grondtal $9999$ en exponent $19$ )

67.3

○–○–○

$67^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4489~~$ en $~~(4+4)*8+\sqrt9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}67$
$67^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}300763~~$ en $~~-3+0+0+7+63\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}67$
$67^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}20151121~~$ en $~~20+15+11+21\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}67$
$67^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1350125107~~$ en $~~1+3+50+12-5-1+0+7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}67$
$67^6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}90458382169~~$ en $~~9+0+4+5+8-3+8+21+6+9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}67$
$67^7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6060711605323~~$ en $~~6+0+6+0-7+1+1+6+0+53-2+3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}67$
$67^8\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}406067677556641~~$ en $~~4+0-6+0-6+7+6+7+7+55-6-6+4+1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}67$
$67^9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}27206534396294947~~$ en $~~2-7-206+5+3-4+3+9+6+294+9-47\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}67$

67.4

$67^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4489~~$ en $~~67^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}300763$ : Beide getallen hebben geen enkel cijfer gemeen. $67$ is het kleinste meercijferige
priemgetal met die eigenschap. Zie ook bij

67.5

MERSENNE was van mening dat $2$$^{67}$$-1$ een priemgetal was. Jammer voor hem maar het is gelijk aan

$193707721*761838257287$

Terloops : $2$$^{67}$$\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}147573952589676412928$ en in dit (lange) getal komt nergens het cijfer $0$ voor.

Tijdens een Internationaal Congres van $1903$ stond Cole op en, terwijl hij naar het schoolbord liep, verhief hij $2$ tot
de macht $67$ en berekende vervolgens, ernaast, het product van de factoren van $M67$ zoals hierboven aangegeven.
Nog steeds zonder een woord te zeggen, ging hij onder applaus weer zitten. E.T. Bell vroeg hem in $1911$ hoe lang
het hem had gekost om $M67$ te ontbinden. Cole antwoordde: "Drie jaar op zondagen."

67.6

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{\large{67}}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$\qquad\qquad~sdc\left(450^{\large{67}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}450\qquad\qquad~sdc\left(859^{\large{67}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}859\qquad\qquad~sdc\left(865^{\large{67}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}865$

$\qquad\qquad~sdc\left(866^{\large{67}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}866\qquad\qquad~sdc\left(869^{\large{67}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}869\qquad\qquad~sdc\left(874^{\large{67}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}874$

$\qquad\qquad~sdc\left(926^{\large{67}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}926\qquad\qquad~sdc\left(934^{\large{67}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}934$

67.7

Er is één rechthoekige driehoek met gehele zijden en één zijde $67:(67;2244;2245)$

67.8

\begin{align} 67^2&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4489\\ 667^2&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}444889\\ 6667^2&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}44448889\\ 66667^2&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4444488889\\ \cdots&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots \end{align}

67.9

$67$ is het grootste oneven getal dat niet kan geschreven worden als de som van twee verschillende kwadraten
(het grootste even getal met deze eigenschap is )
(OEIS A001422)

67.10

$67$ als resultaat met breuken waarin de cijfers van $1$ tot $9$ exact één keer voorkomen : ($geen$ oplossingen) :

$67$ als resultaat met breuken waarin de cijfers van $0$ tot $9$ exact één keer voorkomen : ($1$ oplossing) :
$306927/4581\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}67$

67.11

Men moet $67$ tot minimaal de $2627$ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact $67$ $67$'s verschijnen.
Noteer, voor wat het waard is, in $2{\color{blue}{6}}2{\color{blue}{7}}$ zit $67$ verscholen. Terloops : $67$$^{2627}$ heeft een lengte van $4798$ cijfers.

67.12

$67$ als som van drie oneven priemgetallen.
Vijf van de twintig sommen hebben gelijke priemgetallen :

$$ 3\;primes \left[ \begin{matrix} &3&+&3&+&61\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{59}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{53}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{47}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{41}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{43}\\ &5&+&31&+&31\\ &7&+&7&+&53\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{47}\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{43}\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{41}\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{37}\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{29}&+&\mathbf{31}\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{43}\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{37}\\ &13&+&13&+&41\\ &&\mathbf{13}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{37}\\ &&\mathbf{13}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{31}\\ &&\mathbf{17}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{31}\\ &19&+&19&+&29 \end{matrix} \right. $$

67.13

De eerste keer dat er $67$ opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen $134513$
en $134581$ met aldus een priemkloof van $68\,.~~$ (OEIS A000101.pdf)

67.14

$67$ is het kleinste priemgetal dat als verheven tot de tiende macht alle tien cijfers van $0$ tot $9$ in de decimale expansie

voorkomen. $67^{10}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1822837804551761449$

$67^{10}$ is dus een pandigitaal getal.

67.15

$\begin{align}67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{1208}{1323}}\right)^3+\left({\frac{5353}{1323}}\right)^3\end{align}$

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) (Links uit OEIS A060838)

$(x^3+y^3)/z^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}n~\to~$ [x waarde] (OEIS A190356) [y waarde] (OEIS A190580) [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen $~\to~$ [x waarde] (OEIS A254326) [y waarde] (OEIS A254324)

67.16

Som der reciproken van partitiegetallen van $67$ is $1$ op dertig wijzen.

Vier partities hebben unieke termen.

$~~(1)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+3+12+20+30}~~$ en $~~1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{20}}+{\Large\frac{1}{30}}$

$~~(2)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+4+7+12+42}~~$ en $~~1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{7}}+{\Large\frac{1}{12}}+{\Large\frac{1}{42}}$

$~~(3)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+5+6+9+45}~~$ en $~~1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{45}}$

$~~(6)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+6+8+9+18+24}~~$ en $~~1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{8}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{18}}+{\Large\frac{1}{24}}$

$(1)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+3+12+20+30$

$(2)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+4+7+12+42$

$(3)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+5+6+9+45$

$(4)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+5+8+16+16+20$

$(5)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+5+10+10+20+20$

$(6)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+6+8+9+18+24$

$(7)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+7+8+8+14+28$

$(8)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+3+6+15+20+20$

$(9)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+3+7+12+14+28$

$(10)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+4+4+14+21+21$

$(11)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+4+4+16+16+24$

$(12)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+4+6+6+24+24$

$(13)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+4+6+9+9+36$

$(14)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+4+4+6+21+28$

$(15)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+4+5+5+14+35$

$(16)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+5+5+5+8+40$

$(17)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+4+12+12+12+12+12$

$(18)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+5+9+9+9+12+20$

$(19)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+6+6+8+12+16+16$

$(20)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+6+6+9+10+15+18$

$(21)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+6+6+10+10+12+20$

$(22)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+8+8+8+8+8+24$

$(23)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+4+5+12+12+15+15$

$(24)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+4+7+7+12+12+21$

$(25)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+4+8+9+9+9+24$

$(26)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+7+7+7+7+7+28$

$(27)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5+5+5+5+12+15+20$

$(28)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5+8+8+8+8+10+10+10~~~~$

$(29)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6+6+8+8+9+9+9+12$

$(30)~~67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+7+7+8+8+8+8+14$

(OEIS A125726)

67.17

$2$$^{67}$$\,+\,3$ is een priemgetal $(147573952589676412931)$, de veertiende in zijn soort $2^k+3~~$ (OEIS A057732)

$67$ is de grootste gekende exponent dat tevens een priemgetal is. De drie kleinere exponenten zijn $2,3$ en $7$.

67.18

$67$$^{4}$$+67$$^{0}$$+67$$^{6}$$+67$$^{2}$$+67$$^{5}$$+67$$^{2}$$+67$$^{6}$$+67$$^{8}$$+67$$^{5}$$+67$$^{0}$$+67$$^{1}$$+67$$^{2}$$+67$$^{1}$$+67$$^{4}$$+67$$^{5}$$\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}406252685012145~~$
(OEIS A236067)

67.19

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $67$ enkel met operatoren $+,-,*,/,(),$^^
$67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(6$^^$7)*(7-6)$

67.20

Vijfdemacht gelijk aan de som van zes andere positieve vijfdemachten op twee wijzen
$\quad67^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^5+18^5+23^5+31^5+36^5+66^5$
$\quad67^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}~~7^5+20^5+29^5+31^5+34^5+66^5$

67.21

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9~~$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$\qquad\qquad67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11*(1+1)*(1+1+1)+1$
$\qquad\qquad67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{(2+2+2)}+2+2/2$
$\qquad\qquad67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3+3/3)^3+3$
$\qquad\qquad67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+(4^4-4)/4$
$\qquad\qquad67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}55+(55+5)/5$
$\qquad\qquad67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}66+6/6$
$\qquad\qquad67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}77-(77-7)/7$
$\qquad\qquad67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8*8-8+88/8$
$\qquad\qquad67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9*9-(99+9+9+9)/9$

67.22

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$\qquad\qquad67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+2^3+4+5*6+7+8+9$
$\qquad\qquad67\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+8+7+6*5+4+3^2*1$

67.23

Het kleinste getal dat exact $67$ delers heeft is $73786976294838206464\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{66}~~$ (OEIS A005179)

67.24

(zes multigrades) $67\to67^5\to$

\begin{aligned} 67^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9^1-63^1+131^1+159^1-169^1\\ 67^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9^5-63^5+131^5+159^5-169^5\\ \\ 67^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}97^1+181^1-227^1-258^1+274^1\\ 67^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}97^5+181^5-227^5-258^5+274^5\\ \\ 67^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-167^1-211^1+496^1+557^1-608^1\\ 67^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-167^5-211^5+496^5+557^5-608^5\\ \\ 67^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}387^1+713^1-1129^1-1311^1+1407^1\\ 67^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}387^5+713^5-1129^5-1311^5+1407^5\\ \\ 67^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-156^1-804^1+1091^1+1362^1-1426^1\\ 67^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-156^5-804^5+1091^5+1362^5-1426^5\\ \\ 67^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-116^1-1612^1+1887^1+2261^1-2353^1\\ 67^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-116^5-1612^5+1887^5+2261^5-2353^5\\ \end{aligned}

67.25

Getal dat behoort tot een sextuplet van priemgetallen, namelijk $(7,37,{\color{blue}{67}},97,127,157)$, waarvan het verschil $30$ is.

67.26

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking $x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~$ met $D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}67$.

Als $D$ een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

$\qquad{\color{darkviolet}{48842}}^2-67*{\color{darkviolet}{5967}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1$

(Pell equation solver)

67.27

De reciprook van $67$ heeft als decimale periode de waarde $DP(1/67)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}33$.
De volledige decimale expansie van $1$ periode na de komma is

$014925373134328358208955223880597$

(OEIS A001913) (OEIS A051626) (OEIS A060284)

("In case anyone was curious - inverse.txt" by Philip Clarke)

Het cijfer $6$ komt niet voor in de decimale expansie.

Splitst men deze periode van $33$ cijfers in drie gelijke groepen van $11$ cijfers dan is de som gelijk aan repdigit

$01492537313+43283582089+55223880597\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{indigo}{99999999999}}$

67.28

\(67\)\(_{\large\color{green}{19}}\)	\(67\)		\(2\)	\(68\)
	\(1,67\)
	Priem	getal	\(1000011_2\)	\(43_{16}\)

radix	omzetting	radix	omzetting
2		20
3		21
4		22
5		23
6		24
7		25
8		26
9		27
10		28
11		29
12		30
13		31
14		32
15		33
16		34
17		35
18		36
19		F5 = CLEAR