\(75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+4+5+6+7+8+9+10+11+12\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10+11+12+13+14+15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,13+14+15+16+17\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24+25+26\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}37+38\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11+13+15+17+19\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}23+25+27\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5*(1+2+3+4+5)\) (vijfvoud van som van opeenvolgende gehele getallen)

\(75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+5+7+11+13+17+19\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;1;5;7)\,(0;5;5;5)\,(1;1;3;8)\,(1;3;4;7)\,(3;4;5;5))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#5\}\)

\(75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+2^3+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+2^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+2^3+2^3+3^3+3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,((0;0;0;0;1;1;1;2;4)\,(0;0;2;2;2;2;2;2;3)\,(1;1;1;1;1;2;2;3;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#3\}\)

\(75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}fibonacci_{(7,5)}[7]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}29+46\)

\(75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tribonacci_{(0,2,9)}[7]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11+22+42\)

\(75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tetranacci_{(0,0,0,5)}[9]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5+10+20+40\)

\(75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10^2-5^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}14^2-11^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{38^2-37^2}\)

\(75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,4\) oplossingen bekend

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{4381159^3+435203083^3+(-435203231)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{1217343443218^3+2576191140760^3+(-2663786047493)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-47258398396091)^3+(-47819328945509)^3+59897299698355^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-141757929834791)^3+(-186060602458637)^3+210217593792199^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{20^5+(-42)^5+182^5+187^5+(-212)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{39^5+101^5+183^5+267^5+(-275)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-41)^5+106^5+(-243)^5+(-330)^5+343^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(75^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^5+50^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[5^6][25^3][125^2]-[10^4][100^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}21^2+72^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}45^2+60^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}85^2-40^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}195^2-180^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~317^2-308^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}325^2-10^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}565^2-560^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}939^2-936^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2813^2-2812^2\)

\(75^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}650^2-[5^4][25^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}750^2-375^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1050^2-825^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1630^2-1495^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1750^2-1625^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{2850^2-2775^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~4710^2-4665^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7826^2-7799^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8450^2-8425^2\)

Vertrekkend van de beide cijfers van \(75\) maken we een reeks analoog aan FIBONACCI (de som van het laatste en
het voorlaatste getal levert een nieuw getal). We vinden klaarblijkelijk \(75\) terug. \(\underline{75}\) wordt : \begin{align} 7+5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12\\ 5+12&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}17\\ 12+17&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}29\\ 17+29&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}46\\ 29+46&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\underline{75} \end{align}

\(75\) min een macht van \(2\) geeft een aantal priemgetallen : \begin{align} 75-2^1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}73\\ 75-2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}71\\ 75-2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}67\\ 75-2^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}59\\ 75-2^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}43\\ 75-2^6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11 \end{align}

\(75^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}53^2+54^2-10^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2-25^2+79^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}666^2+763^2-1010^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\)

De som van de delers van \(75\), met uitsluiting van \(1\) en \(75\) zelf, is \(3+5+15+25\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}48\).
De som van de delers van \(48\), met uitsluiting van \(1\) en \(48\) zelf, is \(2+3+4+6+8+12+16+24\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}75\).
Alhoewel \(48\) en \(75\) dus niet officieel “bevriend” zijn, kan men zeggen dat ze toch affiniteit voor elkaar
hebben (sommige auteurs spreken zelfs van “verloofde” getallen! (Wikipedia : Betrothed numbers) (OEIS A005276)

Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\)
\(75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(12+4)+(12-4)+(12*4)+(12/4)\)

$$ {\small{ 2\;primes \left[ \begin{matrix} \\ &2&+&73\\ \\ \end{matrix} \right. }} $$

$$ {\small{ 3\;primes \left[ \begin{matrix} &2&+&2&+&71\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{67}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{61}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{13}&+&\mathbf{59}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{53}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{29}&+&\mathbf{43}\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{31}&+&\mathbf{41}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{11}&+&\mathbf{59}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{53}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{47}\\ &&\mathbf{5}&+&\mathbf{29}&+&\mathbf{41}\\ &7&+&7&+&61\\ &&\mathbf{7}&+&\mathbf{31}&+&\mathbf{37}\\ &11&+&11&+&53\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{17}&+&\mathbf{47}\\ &&\mathbf{11}&+&\mathbf{23}&+&\mathbf{41}\\ &&\mathbf{13}&+&\mathbf{19}&+&\mathbf{43}\\ &13&+&31&+&31\\ &17&+&17&+&41\\ &17&+&29&+&29\\ &19&+&19&+&37\\ &23&+&23&+&29\\ \end{matrix} \right. }} $$

De eerste keer dat er \(75\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(212701\)
en \(212777\) met aldus een priemkloof van \(76\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

\(2\)\(^{75}\)\(\,+\,75~~\) is een priemgetal, de zevende in zijn soort. (OEIS A052007)

\(\begin{align}75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{17351}{3606}}\right)^3-\left({\frac{11951}{3606}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{31401958790537999}{24991605897324612}}\right)^3+\left({\frac{104456145984145201}{24991605897324612}}\right)^3\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) (Links uit OEIS A060838)

\((x^3+y^3)/z^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

Som der reciproken van partitiegetallen van \(75\) is \(1\) op negenentwintig wijzen.

Eén partitie heeft unieke termen.

\(~~(5)~~\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+4+5+8+15+40}~~\) en \(~~1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{8}}+{\Large\frac{1}{15}}+{\Large\frac{1}{40}}\)

(OEIS A125726)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{75}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(630^{\large{75}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}630\quad\qquad\qquad~sdc\left(964^{\large{75}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}964\qquad\qquad~sdc\left(999^{\large{75}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}999\)

\(\qquad\qquad~sdc\left(1016^{\large{75}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1016\qquad\qquad~sdc\left(1053^{\large{75}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1053\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(75\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,()\)
\(75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(7+7)*5+5\)

\(75\) is een KEITH getal. Dit is een sequentie uitrol die lijkt op de Fibonacci iteratie. Evenwel begint een Keith reeks
met onze getalcijfers \({\color{blue}{7}},{\color{blue}{5}}\) en elke volgende term is de som van de twee laatste getallen. Waarom twee ? Omdat dat
de cijferlengte is van ons begingetal \({\color{red}{75}}\). We steken van wal met \(7+5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{blue}{12}}\). Hierna hebben we \(5+12\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{blue}{17}}\)
gevolgd door \(12+17\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{blue}{29}}\) gevolgd door \(17+29\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{blue}{46}}\) gevolgd door \(29+46\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{blue}{75}}\)
en hier komen we weer uit bij ons begingetal.
Zo is geïllustreerd dat \(75\) een Keith-getal is. (OEIS A007629) (Wikipedia)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1+1)*111/(1+1+1)+1\)
\(\qquad\qquad75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{(2+2+2)}+22/2\)
\(\qquad\qquad75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+3*(3^3-3)\)
\(\qquad\qquad75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(44+4^4)/4\)
\(\qquad\qquad75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5*(5+5+5)\)
\(\qquad\qquad75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}666/6-6*6\)
\(\qquad\qquad75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}77-(7+7)/7\)
\(\qquad\qquad75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8*8+88/8\)
\(\qquad\qquad75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9*9-(99+9)/(9+9)\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12*3+4+5+6+7+8+9\)
\(\qquad\qquad75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+8+7*6+5+4+3*2+1\)

Het omgekeerde van \(4^{75}\) is een priemgetal \(\to{4266472836315949449695828501889595072967427241}\)

Pari/GP code : isprime(fromdigits(Vecrev(digits(4^75))))\(\to1=\) true

(OEIS A350441)

(vijf multigrades) \(75\to75^5\to\)

\begin{aligned} 75^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}39^1-49^1+92^1+100^1-107^1\\ 75^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}39^5-49^5+92^5+100^5-107^5\\ \\ 75^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-63^1-327^1+504^1+{\color{green}{600}}^1-639^1\\ 75^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-63^5-327^5+504^5+{\color{green}{600}}^5-639^5\\ \\ 75^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{green}{600}}^1+700^1-1350^1-1550^1+1675^1\\ 75^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{green}{600}}^5+700^5-1350^5-1550^5+1675^5\\ \\ 75^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-315^1-635^1+1030^1+2545^1-2550^1\\ 75^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-315^5-635^5+1030^5+2545^5-2550^5\\ \\ 75^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-303^1-1425^1+1869^1+2643^1-2709^1\\ 75^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-303^5-1425^5+1869^5+2643^5-2709^5\\ \end{aligned}

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}75\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\(\qquad{\color{darkviolet}{26}}^2-75*{\color{darkviolet}{3}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

(OEIS A001913) (OEIS A051626) (OEIS A060284)

("In case anyone was curious - inverse.txt" by Philip Clarke)

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭