\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op vijf wijzen de som van opeenvolgende gehele getallen :

\begin{cases} 126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16\\ 126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10+11+12+13+14+15+16+17+18\\ 126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15+16+17+18+19+20+21\\ 126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}30+31+32+33\\ 126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}41+42+43 \end{cases}

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op vijf wijzen de som van opeenvolgende pare getallen :

\begin{cases} 126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6+8+10+12+14+16+18+20+22\\ 126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12+14+16+18+20+22+24\\ 126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}16+18+20+22+24+26\\ 126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}40+42+44\\ 126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}62+64 \end{cases}

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^2+5^2+6^2+7^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}16+25+36+49\) (som van kwadraten van opeenvolgende getallen)

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+6^2+9^2\) (som van kwadraten van opeenvolgende drievouden)

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;1;2;11)\,(0;1;5;10)\,(0;3;6;9)\,(1;3;4;10)\,(1;5;6;8)\,(2;3;7;8)\,(2;4;5;9)\,(4;5;6;7))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#8\}\)

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[#f4f4f4,3px,border:1px solid]{0^3+1^3+5^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+3^3+3^3+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~((0;0;0;0;0;0;0;1;5)\,(0;0;0;0;0;2;3;3;4)\,(0;1;1;2;2;3;3;3;3)\,(1;1;1;2;2;2;2;3;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#4\}\)

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^7-2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^6+2^6-2\)

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9^3-8^3-6^3+5^3\)

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}eulerphi(127,254)\)

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}fibonacci_{(0,9)}[9]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}48+78\)

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tribonacci_{(0,2,8)}[8]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}20+38+68\)

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tetranacci_{(0,0,9,0)}[9]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+18+36+63\)

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6\)

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\!\Large\frac{9\,*\,8\,*\,7\,*\,6}{4\,*\,3\,*\,2\,*\,1}}\)

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6*7*8*9/24~~\) (product van vier opeenvolgende getallen is deelbaar door \(24\)) (OEIS A000332)

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15^3-57^2~~\) (enige oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) )

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~33\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(126^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^7+117^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^5+90^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}130^2-[2^{10}][4^5][32^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}174^2-120^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}210^2-168^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}450^2-432^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;574^2-560^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1326^2-1320^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3970^2-3968^2\)

\(126^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[57^4][3249^2]-2925^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}63^3+1323^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[{\color{blue}{126}}^4][15876^2]-630^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1415^2-43^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1449^2-315^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;1515^2-543^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1575^2-693^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1701^2-945^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1801^2-1115^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1995^2-1407^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2301^2-1815^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;2835^2-2457^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3549^2-3255^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4095^2-3843^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5201^2-5005^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6255^2-6093^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;\bbox[2px,border:1px brown dashed]{8001^2-7875^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9315^2-9207^2\)

Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\)
\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(28+2)+(28-2)+(28*2)+(28/2)\)

\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6*21\) (palindromische gelijkheid – zie ook 153.7 en 688.-- )

\(126^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}14^3+84^3+112^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-168^3-210^3+252^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}847^3+854^3-1071^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots~~\) (drie van vele oplossingen)

Er zijn drie driehoeken met oppervlakte \(126\) en gehele zijden : \((5;51;52),(13;20;21)\) en \((15;28;41)\)

(Formule van Heron)

\(126\) is het enige getal dat gelijk is aan \(14\) maal de som van zijn cijfers : \(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}14*(1+2+6)\)
(OEIS A005349 - Harshad getallen)

\(126\) is het aantal snijpunten van alle diagonalen in een reguliere negenhoek. (OEIS A006561)

(OEIS Illustration of a(9)).

\(\begin{align}126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{1}{1}}\right)^3+\left({\frac{5}{1}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{71}{14}}\right)^3-\left({\frac{23}{14}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{127}{13}}\right)^3-\left({\frac{121}{13}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{635}{124}}\right)^3-\left({\frac{251}{124}}\right)^3\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) (Links uit OEIS A060838)

\((x^3+y^3)/z^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

\(2\)\(^{126}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}85070591730234615865843651857942052864\)

De som van de pare cijfers is gelijk aan de som van de onpare cijfers namelijk \(86\).

Pari/GP code : (verander \(!=\) naar \(==\) voor het andere pare geval)

s=0; d=digits(2^126); for(i=1,#d,if(denominator(d[i]/2)\({\color{red}{!=}}\)1,s+=d[i])); print(s)

De exponenten van \(2\) waarvoor deze eigenschap opgaat is de sequentie \(13,43,47,51,126,194,386,\ldots\)

Een volgende macht is groter dan \(100000\).

\({\underline{\text{Spielerei met 126}}}\)

Schrijven we \(126\) tweemaal achtereen dan creëren we een (dubbel) tautoniem \(126126\).

De som van zijn \(72\) delers is \(373464~~\to\) Sigma(\(126126)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}373464\).

Dit is een getal bestaande uit twee verschillende driecijferpalindromen

waarvan het eerste deel (\(373\)) een priemgetal is.

Noteer dat \(373464-2*126126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}121212\) een tripel tautoniem oplevert.

Als expressie met faculteiten

\(126126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{(3*5)!}{((5+1)*(5!)^3)}}\)

Als som van machten met teruglopende geschrankte exponenten en basisgetallen

\(126126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^6+6^5+5^4+4^3+3^2+2^1+1^0\)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{126}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(1827^{\large{126}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1827~~\to\) Unieke oplossing voor \(k\gt1\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(126\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,()\)
\(126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((1+2)*6+1+2)*6\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met o.a. dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11^{(1+1)}+1+1+1+1+1\)
\(\qquad\qquad126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2*2^{(2+2+2)}-2\)
\(\qquad\qquad126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3*(3*3+33)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}33*3+3^3\)
\(\qquad\qquad126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4*(4^4-4)/(4+4)\)
\(\qquad\qquad126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5*5*5+5/5\)
\(\qquad\qquad126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}66+66-6\)
\(\qquad\qquad126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7*7+77\)
\(\qquad\qquad126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8*(8+8)-(8+8)/8\)
\(\qquad\qquad126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}99+9+9+9\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12+34+56+7+8+9\)
\(\qquad\qquad126\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}98+7+6+5+4+3+2+1\)

Alle kwadraten (van \(1^2\) tot \(9^2\,\)) komen voor in deze magische driehoek van LUCAS \((1842-1891)\)
met som der zijden gelijk aan \(126\).

\begin{matrix} &&&&&64\\ &&&&49&&1\\ &&&9&&&&36\\ &&4&&81&&16&&25\\ \end{matrix}

Som der reciproken van partitiegetallen van \(126\) is \(1\) op \(429\) (vierhonderdnegenentwintig) wijzen.

Dertien partities hebben unieke termen.

(OEIS A125726)

(vijf multigrades) \(126\to126^5\to\)

\begin{aligned} 126^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}22^1+26^1+74^1-194^1+198^1\\ 126^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}22^5+26^5+74^5-194^5+198^5\\ \\ 126^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}18^1-134^1+262^1+318^1-338^1\\ 126^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}18^5-134^5+262^5+318^5-338^5\\ \\ 126^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}48^1-258^1+372^1+408^1-444^1\\ 126^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}48^5-258^5+372^5+408^5-444^5\\ \\ 126^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-30^1-254^1+412^1+1018^1-1020^1\\ 126^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-30^5-254^5+412^5+1018^5-1020^5\\ \\ 126^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}696^1+744^1-1410^1-1764^1+1860^1\\ 126^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}696^5+744^5-1410^5-1764^5+1860^5\\ \end{aligned}

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}126\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\(\qquad{\color{darkviolet}{449}}^2-126*{\color{darkviolet}{40}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

(OEIS A001913) (OEIS A051626) (OEIS A060284)

("In case anyone was curious - inverse.txt" by Philip Clarke)

Splitst men deze periode van \(6\) cijfers in twee gelijke groepen van \(3\) cijfers dan is de som gelijk aan repdigit

\(079+365\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{indigo}{444}}\)

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭