\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op zeven verschillende wijzen de som van opeenvolgende gehele getallen :

\begin{cases} 135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16\\ 135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+10+11+12+13+14+15+16+17+18\\ 135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11+12+13+14+15+16+17+18+{\color{green}{\underline{19}}}\\ 135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{green}{\underline{20}}}+21+22+23+24+25\\ 135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}25+26+27+28+29\\ 135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}44+45+46\\ 135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}67+68 \end{cases}

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op drie verschillende wijzen de som van opeenvolgende onpare getallen :

\begin{cases} 135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+9+11+13+15+17+19+21+23\\ 135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}23+25+27+29+31\\ 135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}43+45+47 \end{cases}

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+4^2+5^2+6^2+7^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+16+25+36+49\) (som van opeenvolgende kwadraten)

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((1;2;3;11)\,(1;2;7;9)\,(1;3;5;10)\,(1;6;7;7)\,(2;5;5;9)\,(3;3;6;9)\,(5;5;6;7))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#7\}\)

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3*(1+2+3+4+5+6+7+8+9)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+9*10\)

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3+3^3+3^4\)

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1)+(3*3)+(5*5*5)\)

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+2^3+5^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5*3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~((0;0;0;0;0;1;1;2;5)\,(0;0;0;0;3;3;3;3;3)\,(0;0;0;1;2;2;3;3;4)\,(1;1;1;1;1;1;1;4;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#4\}\)

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tribonacci_{(0,4,7)}[8]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}22+40+73\)

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tetranacci_{(0,0,0,9)}[9]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+18+36+72\)

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^8][4^4][16^2]-11^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^3-[3^4][9^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12^2-3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19^3-82^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24^2-21^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24^3-117^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{68^2-67^2}\)

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~17\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(135^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^8][9^4][81^2]+108^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[15^4][225^2]-180^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}45^3-270^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}153^2-72^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}159^2-84^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;351^2-[18^4][324^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}377^2-352^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}615^2-600^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1017^2-1008^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1825^2-1820^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3039^2-3036^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;9113^2-9112^2\)

\(135^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[72^4][5184^2]-4941^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1620^2-405^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1656^2-531^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2052^2-1323^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2160^2-1485^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;3240^2-2835^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3468^2-3093^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5580^2-5355^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{9180^2-9045^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9904^2-9779^2\)

\(135^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15^3+90^3+120^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}95^3+120^3-50^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}990^3-230^3-985^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots~~\) (drie van vele oplossingen)

\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^1+3^2+5^3\) (de machten lopen op : \(1,2,3\) – hetzelfde heeft men bij \(89,175,518,598\)) (OEIS A032799)

\(135*801\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}108135~~\) (zelfde cijfers)

\(135\) is zowel een veelvoud van de som van zijn cijfers \((135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15*(1+3+5))\) als van het product van zijn cijfers
\((135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9*(1*3*5))\) want er geldt dat \((1+3+5)*(1*3*5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}135\). Zie ook 144.9. (\(135,144\) en het triviale
geval \(1\) zijn de enige drie getallen waarvoor dit geldt). Dergelijke getallen worden FILZ-getallen genoemd (Engels :
Filzian numbers), naar Antonio FILZ. Het zijn getallen die gelijk zijn aan de som van de cijfers vermenigvuldigd met
het product van de cijfers. Men noemt ze ook in het Engels “sum-product number”.
Zie ook bij (OEIS A005349 - Harshad getallen)

Drie kwadraten met dezelfde cijfers : \(135^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}18225~;159^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}25281~\) en \(~285^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}81225\)

Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\)
\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(30+2)+(30-2)+(30*2)+(30/2)\)

De eerste keer dat er \(135\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(6371401\)
en \(6371537\) met aldus een priemkloof van \(136\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

Voor \(n\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}135~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\large\sigma}(n+23) ~~\to~~ {\large\sigma}(135)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\large\sigma}(158)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}240~~~~({\large\sigma}\) of  'sigma' staat voor som der delers)

\(135\) is de eerste oplossing uit de reeks \(135,231,322,682,778,1222,1726,1845,\ldots\)

\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}135\to b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{2}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}59798086305259797452~~\)
(OEIS A236067)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{135}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(1981^{\large{135}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1981~~\to\) Unieke oplossing voor \(k\gt1\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(135\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,()\)
\(135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1*1+3+5)*3*5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1+3+5)*(1*3*5)\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11*(11+1)+1+1+1\)
\(\qquad\qquad135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}22+2+222/2\)
\(\qquad\qquad135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+3*33+33\)
\(\qquad\qquad135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(4-4/4)*(44+4/4)\)
\(\qquad\qquad135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5*5*5+5+5\)
\(\qquad\qquad135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6+6+6+6+666/6\)
\(\qquad\qquad135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+((7+7)/7)^7\)
\(\qquad\qquad135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8*(8+8)+8-8/8\)
\(\qquad\qquad135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}99+9+9+9+9\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12+34+5+67+8+9\)
\(\qquad\qquad135\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+8+7+65+43+2+1\)

(vier multigrades) \(135\to135^5\to\)

\begin{aligned} 135^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}59^1-494^1+635^1+657^1-722^1\\ 135^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}59^5-494^5+635^5+657^5-722^5\\ \\ 135^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}60^1-530^1+610^1+1140^1-1145^1\\ 135^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}60^5-530^5+610^5+1140^5-1145^5\\ \\ 135^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-270^1-505^1+980^1+1220^1-1290^1\\ 135^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-270^5-505^5+980^5+1220^5-1290^5\\ \\ 135^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}310^1+955^1-1135^1-2565^1+2570^1\\ 135^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}310^5+955^5-1135^5-2565^5+2570^5\\ \end{aligned}

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}135\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\(\qquad{\color{darkviolet}{244}}^2-135*{\color{darkviolet}{21}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

(OEIS A001913) (OEIS A051626) (OEIS A060284)

("In case anyone was curious - inverse.txt" by Philip Clarke)

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭