\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(16)\)

\(\qquad~~~~\)(som van opeenvolgende gehele getallen)

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10+12+14+16+18+20+22+24\) (som van opeenvolgende pare getallen)

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}31+33+35+37\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}67+69\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5+8+13+21+34+55\) (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}36+45+55\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(8)+D(9)+D(10)\) (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;6;10)\,(0;6;6;8)\,(2;2;8;8)\,(2;4;4;10))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#4\}\)

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[#f4f4f4,3px,border:1px solid]{2^3+4^3+4^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~((0;0;0;0;0;0;2;4;4)\,(0;0;0;0;1;1;1;2;5)\,(0;0;0;1;3;3;3;3;3)\,(0;0;1;1;2;2;3;3;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#4\}\)

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1^2+1^2)*(2^2+8^2)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1^2+4^2)*(2^2+2^2)\)

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1+3+6)*13+6\)

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}eulerphi(137,274)\)

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}fibonacci_{(0,4)}[10]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}52+84\)

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tribonacci_{(0,2,0)}[11]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}22+40+74\)

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tetranacci_{(0,2,8,0)}[9]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10+20+38+68\)

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1^3+2^3+3^3)+(1^3+2^3+3^3+4^3)\)

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}17*(1+7)\) (\(17\) is een priemfactor van \(136\))

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+2^7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^2+10^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12^2-2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19^2-15^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}35^2-33^2\)

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~17\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(136^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^{12}][4^6][8^4][16^3][64^2]+120^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[17^4][289^2]-255^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}68^3-544^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}153^2-17^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}170^2-102^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;305^2-273^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}586^2-570^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1160^2-1152^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2314^2-2310^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4488^2-272^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4625^2-4623^2\)

\(136^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[71^4][5041^2]-4785^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}80^2+1584^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}816^2+1360^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1666^2-510^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1700^2-612^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2465^2-1887^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;2584^2-2040^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4760^2-4488^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{9316^2-9180^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9890^2-9762^2\)

Vertrekkend van \(136\) en telkens de som makend van de derde machten van de cijfers maken we de cirkel rond:

\(\underline{136}\to1^3+3^3+6^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}244\to2^3+4^3+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\underline{136}\)

In het Engels worden deze RDI's genoemd wat staat voor Recurring Digital Invariants.

Zie ook bij 55.9 160.4 919.--

\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^1+3^2+5^3\)

(multigrades) \(136\to4646\to\)

\begin{align} 30^1+35^1+35^1+36^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}32^1+33^1+33^1+38^1\\ 30^2+35^2+35^2+36^2&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}32^2+33^2+33^2+38^2 \end{align}

Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\)
\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(34+1)+(34-1)+(34*1)+(34/1)\)

\({\color{blue}{136^2}}+137^2+138^2+139^2+140^2+141^2+142^2+143^2+144^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(145^2+146^2+147^2+148^2+149^2+150^2+151^2+152^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{tomato}{176460}}\)

Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende kwadraten.

De eerste term van de linkersom is (OEIS A014105).

De eerste term \(m\) van de rechtersom is (OEIS A001804). \(2*m-1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2*145-1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}289\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}17^2\) is een perfect kwadraat.

Het verschil \(145-136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9\) geeft het aantal termen weer van de linkersom. En ééntje minder in de rechtersom.

(OEIS A059255)

\(\begin{align}136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{36}{7}}\right)^3-\left({\frac{2}{7}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\color{tomato}{\left({\frac{18*2}{7}}\right)^3-\left({\frac{1*2}{7}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{18}{7}}\right)^3-\left({\frac{1}{7}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\frac{136}{8}}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}17}\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) (Links uit OEIS A060838)

\((x^3+y^3)/z^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

\(989353^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}968397868897889977~~\) en

\(9+6+8+3+9+7+8+6+8+8+9+7+8+8+9+9+7+7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{blue}{136}}\) en

\(989353\) is het hoogste getal kleiner dan een miljoen met die eigenschap.

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{136}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(1945^{\large{136}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1945\qquad\qquad~sdc\left(2023^{\large{136}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2023\qquad\qquad~sdc\left(2053^{\large{136}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2053\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(136\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,()\)
\(136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((1+6)*6+3)*3+1\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11*(11+1)+1+1+1+1\)
\(\qquad\qquad136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}22*(2+2+2)+2+2\)
\(\qquad\qquad136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3+3/3)*(33+3/3)\)
\(\qquad\qquad136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4*4*(4+4)+4+4\)
\(\qquad\qquad136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5*5+555/5\)
\(\qquad\qquad136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}66+6+((6+6)/6)^6\)
\(\qquad\qquad136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+7/7+((7+7)/7)^7\)
\(\qquad\qquad136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8*(8+8)+8\)
\(\qquad\qquad136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(9-9/9)*(9+9-9/9)\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12+34+5+6+7+8*9\)
\(\qquad\qquad136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9*8+7+6+5+43+2+1\)

(drie multigrades) \(136\to136^5\to\)

\begin{aligned} 136^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-16^1+42^1+86^1-124^1+148^1\\ 136^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-16^5+42^5+86^5-124^5+148^5\\ \\ 136^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}357^1+731^1-1054^1-1156^1+1258^1\\ 136^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}357^5+731^5-1054^5-1156^5+1258^5\\ \\ 136^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-264^1-461^1+903^1+1267^1-1309^1\\ 136^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-264^5-461^5+903^5+1267^5-1309^5\\ \end{aligned}

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}136\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\(\qquad{\color{darkviolet}{35}}^2-136*{\color{darkviolet}{3}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

(OEIS A001913) (OEIS A051626) (OEIS A060284)

("In case anyone was curious - inverse.txt" by Philip Clarke)

Splitst men deze periode van \(16\) cijfers in twee gelijke groepen van \(8\) cijfers dan is de som van elk tweetal cijfers
onder elkaar steeds \(9\).

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭