\(157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}78+79\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+10+12+14+15+16+18+20+21+22\) (som van opeenvolgende samengestelde getallen)

\(157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;6;11)\,(0;2;3;12)\,(2;2;7;10)\,(2;4;4;11)\,(2;5;8;8)\,(2;6;6;9)\,(4;4;5;10)\,(6;6;6;7))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#8\}\)

\(157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+3^3+4^3+4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+2^3+2^3+2^3+5^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~((0;0;0;0;1;1;3;4;4)\,(0;0;0;0;2;2;2;2;5)\,(0;0;1;1;1;1;1;3;5)\,(1;1;1;1;2;3;3;3;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#4\}\)

\(157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+7^2+10^2\)

\(157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12^0+12^1+12^2\)

\(157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+2^2+4^2+6^2+10^2\)

\(157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10011101_2~\) en \(~10011101_{10}\) is een decimaal priemgetal. (OEIS A036952)

\(157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}fibonacci_{(1,4)}[10]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}60+97\)

\(157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tribonacci_{(0,6,7)}[8]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}26+46+85\)

\(157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tetranacci_{(0,0,8,3)}[9]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11+22+44+80\)

\(157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^5+5^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^2+11^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}20^2-3^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{79^2-78^2}\)

\(157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad~~~~\)Getallen van de vorm \(~9m+4~\) of \(~9m+5~\) kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

\(\qquad~~~~\)In dit geval is \(m\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}17~~(+4)\).

\(157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vier derdemachten)

\(\qquad~~~~(z\gt1000)\)

\(157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{6^5+12^5+(-46)^5+(-51)^5+56^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{580^5+680^5+1357^5+1428^5+(-1608)^5}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{166^5+909^5+1016^5+2214^5+(-2228)^5}\)

\(157^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}85^2+132^2~~\) (enige oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) )

\(157^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}143^2+1962^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}349^3-6216^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}942^2+1727^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\ldots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{12403^2-12246^2}\)

In de bewerking \(157*28=4396\) komen de cijfers van \(1\) tot \(9\) voor.

De kwadraten \({\color{blue}{157}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24649~\) en \(~158^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24964\) bevatten dezelfde cijfers (zie ook bij 144.14 en 169.4 )

(OEIS A072841)

\(157\) is een eenzaam priemgetal tussen samengestelde getallen :

\(152\gets153\gets154\gets155\gets156\gets{\color{blue}{157}}\to158\to159\to160\to161\to162~~\)(Zie ook bij 53.5 en 89.7 )

\(157^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12^2+13^2+156^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}109^2+142^2-86^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}239^2+893^2-911^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\)

De eerste keer dat er \(157\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(49269581\)
en \(49269739\) met aldus een priemkloof van \(158\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

\(2\)\(^{157}\) is de kleinste apocalyptische macht van \(2\) omdat in de decimale expansie drie \(6\)'s (getal van de duivel) opeenvolgend

voorkomen. \(2\)\(^{157}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}182687704{\color{red}{666}}362864775460604089535377456991567872\)

\(2\)\(^{157}\)\(\,-\,1\) is een Mersenne getal met een priemexponent en vier priemfactoren.

\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}852133201*60726444167*1654058017289*2134387368610417\)

\(157\) is het kleinste meercijferig priemgetal van de vorm \(2\)\(^p\)\(+p\)\(^3\), waarbij \(p\) een priemgetal is. Reken het maar eens uit
met de waarde \(p\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5~~\). (OEIS A097339)

\(\begin{align}157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{19964887}{1142148}}\right)^3-\left({\frac{19767319}{1142148}}\right)^3\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) (Links uit OEIS A060838)

\((x^3+y^3)/z^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

\((157\)\(^{157}\)\(+1)/(157+1)\) is een priemgetal van \(343\) cijfers \((\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}361067452\ldots~\ldots798744201)\), de vierde in zijn soort

\((p^p+1)/(p+1)~~\) (OEIS A056826)

\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}157\to b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{2}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}371511605323843002~~\)
(OEIS A236067)

\(157\) heeft een priem aantal partities, namelijk \((80630964769)~~\) (OEIS A046063) (OEIS A049575)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{157}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(1550^{\large{157}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1550\qquad\qquad~sdc\left(2299^{\large{157}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2299\qquad\qquad~sdc\left(2386^{\large{157}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2386\)

\(\qquad\qquad~sdc\left(2422^{\large{157}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2422\qquad\qquad~sdc\left(2443^{\large{157}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2443\qquad\qquad~sdc\left(2449^{\large{157}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2449\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(157\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,()\)
\(157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(7-1)*1*5*5+7\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(11+1)*(11+1+1)+1\)
\(\qquad\qquad157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2*22+2+222/2\)
\(\qquad\qquad157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+33*(3+33/3)/3\)
\(\qquad\qquad157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4*(44-4)-4+4/4\)
\(\qquad\qquad157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5*5*5+((5+5)/5)^5\)
\(\qquad\qquad157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(6+6)*(6+6)+6+6+6/6\)
\(\qquad\qquad157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}77+77+(7+7+7)/7\)
\(\qquad\qquad157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}88+8*8+(88-8)/(8+8)\)
\(\qquad\qquad157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((9+9)/9)^{(9-9/9)}-99\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1*2+3*4+56+78+9\)
\(\qquad\qquad157\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+8*7+6+54+32*1\)

(multigrades) \(157\to1089331507~~\text{(\(+\,8^5\) is pannumerisch \(1089364275~\) )}\to\)

\begin{aligned} {\color{red}{8}}^1+10^1+37^1+53^1+57^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{red}{8}}^1+12^1+35^1+52^1+58^1\\ {\color{red}{8}}^5+10^5+37^5+53^5+57^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{red}{8}}^5+12^5+35^5+52^5+58^5 \end{aligned}

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}157\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\(\qquad{\color{darkviolet}{46698728731849}}^2-157*{\color{darkviolet}{3726964292220}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

(OEIS A001913) (OEIS A051626) (OEIS A060284)

("In case anyone was curious - inverse.txt" by Philip Clarke)

Splitst men deze periode van \(78\) cijfers in twee gelijke groepen van \(39\) cijfers dan is de som van elk tweetal cijfers
onder elkaar steeds \(9\).

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭