\(165\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op zeven wijzen de som van opeenvolgende gehele getallen :

\begin{cases} 165=4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18\\ 165=10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20\\ 165=12+13+14+15+16+17+18+19+20+21\\ 165=25+26+27+28+29+{\color{green}{\underline{30}}}\\ 165={\color{green}{\underline{31}}}+32+33+34+35\\ 165=54+55+56\\ 165=82+83 \end{cases}

\(165\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op drie wijzen de som van opeenvolgende onpare getallen :

\begin{cases} 165=5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25\\ 165=29+31+33+35+37\\ 165=53+55+57 \end{cases}

\(165\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+3+6+10+15+21+28+36+45\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(1)+\cdots+D(9)\) (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

\(165\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+3^2+5^2+7^2+9^2\) (som van kwadraten van opeenvolgende onpare getallen)

\(165\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;1;8;10)\,(0;4;7;10)\,(1;2;4;12)\,(1;6;8;8)\,(2;2;6;11)\,(2;4;8;9)\,(2;5;6;10)\,(4;6;7;8))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#8\}\)

\(165\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;1;1;2;3;4;4)\,(0;0;0;2;2;2;2;2;5)\,(0;1;1;1;1;1;2;3;5)\,(1;1;1;3;3;3;3;3;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#4\}\)

\(165\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+6^2+11^2\)

\(165\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3*(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)\)

\(165\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11*(1+2+3+4+5)\)

\(165\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5/(2/3-7/11)\) (expressie met de vijf eerste priemgetallen)

\(165\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(9*10*11)/6\) (tetraëder getal) (OEIS A000292)

\(165\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^2-2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19^2-14^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}29^2-26^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{83^2-82^2}\)

\(165\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~\)Toch \(1\) oplossing bekend maar pas sinds half \(2020\) !

\(\qquad~~~~\)Gevonden door Andrew R. Booker met assistentie van Charity Engine's crowd-sourced compute grid.

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{98422560467622814^3+383344975542639445^3+(-385495523231271884)^3}\)

\(165\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{7^5+(-31)^5+(-54)^5+(-74)^5+77^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-88)^5+90^5+(-109)^5+(-195)^5+197^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(165^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15^2+30^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}99^2+132^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}173^2-52^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}187^2-88^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}219^2-[12^4][144^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}275^2-220^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}325^2-280^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;429^2-396^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}440^2-55^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}557^2-532^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}561^2-66^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}915^2-[30^4][900^2]\)

\(165^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1243^2-1232^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1517^2-1508^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2725^2-2720^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4539^2-4536^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2145^2-330^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2255^2-770^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;2321^2-946^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2353^2-1022^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2559^2-1434^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2607^2-1518^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3135^2-2310^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3665^2-2990^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;4015^2-3410^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4785^2-4290^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6177^2-5802^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6369^2-6006^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7711^2-7414^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;8305^2-8030^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{13695^2-13530^2}\)

\(165^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}27^2+164^2-20^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}30^2+90^2+135^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}459^2+510^2-666^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\)

\(\require{cancel}{\Large{{\frac{1\!\cancel{\color{red}{6}}\!5}{4\!\cancel{\color{red}{6}}\!2}}}}=165/462=15/42\)

(onconventionele schrapping in teller en noemer; hier is \(165/462=(15*11)/(42*11)\) waaruit het resultaat \(15/42\) direct volgt)

(multigrades) \(165\to10209\to\)

\begin{align} 28^1+64^1+73^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}82^1+46^1+37^1\\ 28^2+64^2+73^2&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}82^2+46^2+37^2 \end{align}

(multigrades) \(165\to10629\to\)

\begin{align} 23^1+74^1+68^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}32^1+47^1+86^1\\ 23^2+74^2+68^2&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}32^2+47^2+86^2 \end{align}

(multigrades) \(165\to10709\to\)

\begin{align} 23^1+64^1+78^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}32^1+46^1+87^1\\ 23^2+64^2+78^2&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}32^2+46^2+87^2 \end{align}

Merk ook op dat in alle gevallen de getallen elkaars omgekeerden zijn.

De gelijkheid blijft ook als indexen van de driehoeksgetallen. Zie ook bij 66.7 132.6 387.5

(multigrades) \(5187\to\)

\begin{align} D(28)+D(64)+D(73)&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(82)+D(46)+D(37)\\ 406+2080+2701&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3403+1081+703 \end{align}

(multigrades) \(5397\to\)

\begin{align} D(23)+D(74)+D(68)&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(32)+D(47)+D(86)\\ 276+2775+2346&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}528+1128+3741 \end{align}

(multigrades) \(5437\to\)

\begin{align} D(23)+D(64)+D(78)&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(32)+D(46)+D(87)\\ 276+2080+3081&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}528+1081+3828 \end{align}

\begin{align} 165^2&=27225\\ 1665^2&=2772225\\ 16665^2&=277722225\\ 166665^2&=27777222225\\ 1666665^2&=2777772222225\\ 16666665^2&=277777722222225\\ \cdots&=\cdots \end{align}

De eerste keer dat er \(165\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(83751121\)
en \(83751287\) met aldus een priemkloof van \(166\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

\(165\) is een kwadraatvrij samengesteld getal \(n\) zodanig dat voor elk priemgetal \(p\) dat een deler is van \(n\),

\(p+{\color{red}{3}}\) een deler is van \(n+{\color{red}{3}}.\)

\(3\) deelt \(165\) en zo ook \(3+{\color{red}{3}}\) deelt \(165+{\color{red}{3}}\) of \(6\) deelt \(168=28\)

\(5\) deelt \(165\) en zo ook \(5+{\color{red}{3}}\) deelt \(165+{\color{red}{3}}\) of \(8\) deelt \(168=21\)

\(11\) deelt \(165\) en zo ook \(11+{\color{red}{3}}\) deelt \(165+{\color{red}{3}}\) of \(14\) deelt \(168=12\)

Algemeen spreken we hier van een quasi Lucas-Carmichael getal met notatie \(p|n \Rightarrow p+{\color{red}{3}}|n+{\color{red}{3}}\).

(OEIS A029563) (OEIS A029591)

Gebruiken we als opteller \({\color{red}{1}}\) in plaats van \({\color{red}{3}}\) dan spreken we over Lucas-Carmichael getallen en die worden besproken in de volgende Youtube Video (Something special about 399 (and 2015) - Numberphile) en ook in (OEIS A006972)

Zie ook bij 231.19 273.19 399.? 598.? 715.? 935.?

\(165\) is de som van 'de som van de delers' \({\large\sigma}(n)\) of sigma\((n)\) van de eerste veertien positieve getallen.

\({\large\sigma}(1)+{\large\sigma}(2)+{\large\sigma}(3)+{\large\sigma}(4)+{\large\sigma}(5)+{\large\sigma}(6)+{\large\sigma}(7)+{\large\sigma}(8)+{\large\sigma}(9)+{\large\sigma}(10)+{\large\sigma}(11)+{\large\sigma}(12)+{\large\sigma}(13)+{\large\sigma}(14)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\([1]+[1+2]+[1+3]+[1+2+4]+[1+5]+[1+2+3+6]+[1+7]+[1+2+4+8]+[1+3+9]+\)

\(\qquad~~~~[1+2+5+10]+[1+11]+[1+2+3+4+6+12]+[1+13]+[1+2+7+14]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\([1]+[3]+[4]+[7]+[6]+[12]+[8]+[15]+[13]+[18]+[12]+[28]+[14]+[24]={\color{blue}{165}}\)

(OEIS A000203) (OEIS A024916)

\(165\) is de som van 'de som der delers' van de getallen van \(1\) tot \(14\) :

\((1)+(1+2)+(1+3)+(1+2+4)+(1+5)+(1+2+3+6)+(1+7)+(1+2+4+8)+(1+3+9)~+\)

\((1+2+5+10)+(1+11)+(1+2+3+4+6+12)+(1+13)+(1+2+7+14)\)

(OEIS A024916)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{165}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(2502^{\large{165}}\right)=2502\qquad\qquad~sdc\left(2537^{\large{165}}\right)=2537\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(165\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,()\)
\(165\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(6*6+1+1-5)*5\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad165=11*(11+1+1+1+1)\)
\(\qquad\qquad165=2*22+(22/2)^2\)
\(\qquad\qquad165=(3+3)*3^3+3\)
\(\qquad\qquad165=4*44-44/4\)
\(\qquad\qquad165=5+5*((5+5)/5)^5\)
\(\qquad\qquad165=66*(6*6-6)/(6+6)\)
\(\qquad\qquad165=77*(7+7+7/7)/7\)
\(\qquad\qquad165=88+88-88/8\)
\(\qquad\qquad165=9*(9+9)+(9+9+9)/9\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad165=12*3+45+67+8+9\)
\(\qquad\qquad165=9*8+7*6+5+43+2+1\)

(multigrades) \(165\to1986402375~~\text{(pannumerisch)}\to\)

\begin{aligned} 2^1+14^1+38^1+40^1+71^1&=15^1+22^1+23^1+33^1+72^1\\ 2^5+14^5+38^5+40^5+71^5&=15^5+22^5+23^5+33^5+72^5 \end{aligned}

(multigrades) \(165\to165^5\to\)

\begin{aligned} 165^1&=-195^1-555^1+945^1+1455^1-1485^1\\ 165^5&=-195^5-555^5+945^5+1455^5-1485^5\\ \end{aligned}

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}165\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\(\qquad{\color{darkviolet}{1079}}^2-165*{\color{darkviolet}{84}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭