\(173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}86+87\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}53+59+61\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;2;13)\,(0;2;5;12)\,(0;3;8;10)\,(0;4;6;11)\,(1;6;6;10)\,(2;3;4;12)\,(3;6;8;8))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#7\}\)

\(173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;1;3;3;3;3;4)\,(0;0;1;1;2;2;3;4;4)\,(0;0;2;2;2;2;2;2;5)\,(1;1;1;1;1;2;2;3;5))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#4\}\)

\(173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}17*(7+3)+3\) (zelfde cijfers)

\(173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10101101_2~\) en \(~10101101_{10}\) is een decimaal priemgetal. (OEIS A036952)

\(173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}fibonacci_{(2,7)}[9]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}66+107\)

\(173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tribonacci_{(1,2,5)}[9]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}28+51+94\)

\(173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tetranacci_{(0,0,7,5)}[9]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12+24+48+89\)

\(173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+13^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{87^2-86^2}\)

\(173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~7\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{2^5+(-3)^5+26^5+32^5+(-34)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-1)^5+5^5+(-42)^5+(-71)^5+72^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(173^2 \mathbf{\color{blue}{\;=\;}}52^2+165^2~~\) (enige oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) )

\(173^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}346^2+2249^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1006^2+2041^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{15051^2-14878^2}\)

\(173^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}67^2+166^2-46^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24^2+108^2+133^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}429^2+538^2-666^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\)

\(173\) is het tweede getal (uit zes) van \(3\) cijfers (\({\color{blue}{\neq}}100,200,300\)) waarvan het kwadraat slechts uit twee verschillende
cijfers bestaat (\(173^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}29929\)). De eerste is \(109\) en de derde is \(212\). (OEIS A016070)

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Vervang in \({\small\text{ABC + DEF}}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\small\text{GHI}}~~\) de letters door de cijfers van \(1\) tot \(9\). Er zijn verschillende oplossingen (\(336\) om precies
te zijn), maar welke geeft de kleinste som ? En welke geeft de grootste som ?
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
De kleinste som is met \(173+286\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}459\); de grootste som met \(235+746\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}981\) of met \(324+657\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}981\). Zie voor
alle \(336\) oplossingen het hoofdstuk Pandigitaal uit “Getallen in detail” maar ook (Ninedigital Page 4)

De eerste keer dat er \(173\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(52721113\)
en \(52721287\) met aldus een priemkloof van \(174\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

\(173\) heeft \(4\) maal het cijfer \(7\) in de decimale expansie van zijn derdemacht \(173^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5177717\).

Hier zijn de kleinste waarden voor \(k\) maal het cijfer \(7\)   (OEIS A048372) : \begin{align} 3^3&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2{\color{red}{7}}\\ 26^3&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1{\color{red}{7}}5{\color{red}{7}}6\\ 83^3&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5{\color{red}{7}}1{\color{red}{7}}8{\color{red}{7}}\\ {\color{blue}{173}}^3&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}51{\color{red}{777}}1{\color{red}{7}}\\ 1983^3&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{red}{77}}9{\color{red}{77}}2908{\color{red}{7}}\\ 2953^3&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}25{\color{red}{7}}50{\color{red}{777}}1{\color{red}{77}}\\ 19753^3&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{red}{77}}0{\color{red}{7}}2454{\color{red}{7}}0{\color{red}{777}}\\ 90643^3&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{red}{7}}44{\color{red}{7}}36{\color{red}{7}}9{\color{red}{7}}0{\color{red}{777}}0{\color{red}{7}} \end{align}

\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}173\to\)
\(b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{9}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}695650126389290987129~~\)
(OEIS A236067)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{173}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(1790^{\large{173}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1790\qquad\qquad~sdc\left(2565^{\large{173}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2565\qquad\qquad~sdc\left(2673^{\large{173}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2673\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(173\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,()\)
\(173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3*7+1)*(1+7)-3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}17*(7+3)+3*1\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(11+1+1)^{(1+1)}+1+1+1+1\)
\(\qquad\qquad173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(2+22/2)^2+2+2\)
\(\qquad\qquad173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3+3)*3^3+33/3\)
\(\qquad\qquad173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4*44-4+4/4\)
\(\qquad\qquad173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5*(5*5+5+5)-(5+5)/5\)
\(\qquad\qquad173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6*(6*6-6)-6-6/6\)
\(\qquad\qquad173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}77+7*(7+7)+(7+7)/7\)
\(\qquad\qquad173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}88+88+8-88/8\)
\(\qquad\qquad173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9*(9+9)+99/9\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}123+4*5+6+7+8+9\)
\(\qquad\qquad173\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}98+7*6+5+4+3+21\)

Ontbinding in priemfactoren (door Sam Wagstaff) van

\({\Large\frac{173^{173}\:-\:1}{173\:-\:1}}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}347*685081*161297590410850151*p176*p184\)

Als je \(p176\) en \(p184\) in volle expansie wilt zien kan je best deze database raadplegen factordb.com
en daar \((173\)^\(173-1)/172\) ingeven.

(drie multigrades) \(173\to173^5\to\)

\begin{aligned} 173^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-19^1-322^1+572^1+638^1-696^1\\ 173^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-19^5-322^5+572^5+638^5-696^5\\ \\ 173^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-188^1-269^1+719^1+763^1-852^1\\ 173^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-188^5-269^5+719^5+763^5-852^5\\ \\ 173^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-417^1-841^1+1601^1+1769^1-1939^1\\ 173^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-417^5-841^5+1601^5+1769^5-1939^5\\ \end{aligned}

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}173\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\(\qquad{\color{darkviolet}{2499849}}^2-173*{\color{darkviolet}{190060}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

(OEIS A001913) (OEIS A051626) (OEIS A060284)

("In case anyone was curious - inverse.txt" by Philip Clarke)

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭