\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}63+34+65\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5+7+11+13+17+19+23+29+31+37\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}62+64+66\) (som van opeenvolgende pare getallen)

\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op vijf wijzen de som van opeenvolgende onpare getallen :

\begin{cases} 192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27\\ 192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}17+19+21+23+25+27+29+31\\ 192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}27+29+31+33+35+37\\ 192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}45+47+49+51\\ 192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}95+97 \end{cases}

\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;8;8;8)\,(4;4;4;12))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#2\}\)

\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[#f4f4f4,3px,border:1px solid]{4^3+4^3+4^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+4^3+5^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;0;0;0;4;4;4)\,(0;0;0;0;1;1;1;4;5)\)

\(\qquad~~~~(0;0;1;1;2;3;3;4;4)\,(0;0;2;2;2;2;2;3;5)\,(1;1;1;1;1;2;3;3;5))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#5\}\)

\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^4+2^5+12^2\)

\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}99+99-\sqrt9-\sqrt9\)

\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(9+9-2)*12~~\) (zelfde cijfers)

\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}eulerphi(193,221,291,357,386,388,416,442,448,476,520,560,576,582,612,624,672,714,720,780,840)\)

\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tribonacci_{(0,0,8)}[9]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}32+56+104\)

\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tetranacci_{(0,2,2,0)}[11]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}14+26+52+100\)

\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^6][4^3][8^2]+2^7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[\bbox[tan,3px]{2^8}][4^4][16^2]-[2^6][4^3][\bbox[tan,3px]{8^2}]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{13}-20^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[7^4][47^2]-47^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}14^2-2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~19^2-13^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}26^2-22^2\)

\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~3\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{4^3+4^3+4^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-20)^3+16^3+16^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-5802193388)^3+(-31101111110)^3+31168279654^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{14^5+26^5+(-30)^5+(-32)^5+34^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(192^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^{12}][4^6][8^4][16^3][64^2]+[2^{15}][8^5][32^3]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15^3+183^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}200^2-56^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}208^2-80^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}240^2-[12^4][144^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;292^2-220^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}320^2-[2^{16}][4^8][16^4][256^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}384^2-48^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}408^2-360^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}530^2-494^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}592^2-560^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;780^2-756^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}960^2-96^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1033^2-1015^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1160^2-1144^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1542^2-1530^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2308^2-2300^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;3075^2-3069^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4610^2-4606^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9217^2-9215^2\)

\(192^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{19}+2560^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24^5-96^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2688^2-384^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2752^2-704^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2912^2-1184^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3072^2-1536^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;3648^2-2496^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3968^2-2944^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4528^2-3664^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4992^2-4224^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6432^2-5856^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7168^2-6656^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;8408^2-7976^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9408^2-9024^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{18528^2-18336^2}\)

\(192\) is het kleinste getal met exact \(14\) delers. (OEIS A005179)

\(192\) is het tweede getal dat gelijk is aan \(16\) maal de som van zijn cijfers : \(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}16*(1+9+2)\)

Andere getallen met dezelfde eigenschap zijn \(144\) en \(288~~\) (OEIS A005349 - Harshad getallen)

\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^6*3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^6*(4-1)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^6*(2^2-1)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^8-2^6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^3*3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^4-4^3\)

\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(2!)^5*3!\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(2!)^3*4!\)

Zowel \(1/3\) van \(192\) als \(3*192\) zijn kwadraten (resp. \(~~64\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8^2~~\) en \(~~576\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24^2~~\))

\(192\) is de oppervlakte van twee driehoeken met gehele getallen als zijden : \((20;20;24)\) en \((20;20;32)\)

(Formule van Heron)

\(192\) is de omtrek van een rechthoekige driehoek met gehele getallen als zijden : \((48;64;80)\)

Met cijfers van \(0\) tot \(9\) is \(192\) gelijk aan \(19+{\Large\frac{78}{2}}+{\Large\frac{536}{4}}\)

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Vervang gelijke letters door gelijke cijfers : \(ABC+DEF\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}GHI~\) en \(~ABC*C\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}DEF\)
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
De optelling is \(192+384\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}576\) waarbij \(192*2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}384~\) (en \(~192*3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}576\)). Merk op dat de cijfers van \(1\) tot \(9\)
gebruikt zijn (pannumerieke vergelijking).
Er zijn nog drie gelijksoortige oplossingen. Zie 219.23 273.6 327.5
Zie ook het hoofdstuk Pandigitaal uit “Getallen in detail” maar ook (Ninedigital Page 4) en het getal 173.6

Om de getallen van \(1\) tot \(100\) te schrijven zijn er \(192\) cijfers nodig. De algemene formule vindt men als volgt :
Om de getallen van \(1\) tot \(N\) te schrijven zijn \((N+1)*k-p\) cijfers nodig. Hierin is \(k\) het aantal cijfers van het
getal \(N\) en is \(p\) het getal \(111\ldots111\) maar beperkt tot \(k\) cijfers. Dus voor \(N\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}100\) is \(k\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3\) (is het aantal cijfers
van \(100\)) en \(p\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}111\) (getal met alleen maar énen en wel evenveel énen als het aantal cijfers van \(100\), dus \(3\)).
Er komt dan \((100+1)*3-111\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}192\)

Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\)
\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(21+7)+(21-7)+(21*7)+(21/7)\)
\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(36+3)+(36-3)+(36*3)+(36/3)\)
\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(48+1)+(48-1)+(48*1)+(48/1)\)

\(192^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}36864~~\) en \(~~3+6+8+6+4=27\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3~~\) (som van de cijfers van het kwadraat is een derdemacht)

\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}192\to b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{6}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3703183532302344386~~\)
(OEIS A236067)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{192}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(2809^{\large{192}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2809\qquad\qquad~sdc\left(2899^{\large{192}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2899\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(192\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,(),\)^^
\(192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1+2+9)*2*(9-1)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(9+9-2)*(1\)^^\(2)*1\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met o.a. dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(11-1-1)^{(1+1)}+111\)
\(\qquad\qquad192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2*2*2*(22+2)\)
\(\qquad\qquad192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3*(3+3/3)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(33+33)*3-3-3\)
\(\qquad\qquad192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4*(44+4)\)
\(\qquad\qquad192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(5+5/5)*((5+5)/5)^5\)
\(\qquad\qquad192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6*(6*6-6)+6+6\)
\(\qquad\qquad192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(7*7-7/7)*(77/7-7)\)
\(\qquad\qquad192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8*(8+8+8)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}88+88+8+8\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}888-88*8+8\)
\(\qquad\qquad192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9*9+999/9\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12*3+4+56+7+89\)
\(\qquad\qquad192\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9*8+7*6+54+3+21\)

(drie multigrades) \(192\to192^5\to\)

\begin{aligned} 192^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-39^1+54^1+132^1-153^1+198^1\\ 192^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-39^5+54^5+132^5-153^5+198^5\\ \\ 192^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24^1-224^1+432^1+496^1-536^1\\ 192^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24^5-224^5+432^5+496^5-536^5\\ \\ 192^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-280^1-320^1+872^1+1016^1-1096^1\\ 192^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-280^5-320^5+872^5+1016^5-1096^5\\ \end{aligned}

(multigrades) \(192\to16466784192\to\)

\begin{aligned} 93^1+99^1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-152^1+346^1+834^1-836^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-242^1+436^1+1104^1-1106^1\\ 93^5+99^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-152^5+346^5+834^5-836^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-242^5+436^5+1104^5-1106^5\\ \end{aligned}

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}192\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\({\qquad\color{darkviolet}{97}}^2-192*{\color{darkviolet}{7}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

(OEIS A001913) (OEIS A051626) (OEIS A060284)

("In case anyone was curious - inverse.txt" by Philip Clarke)

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭