\(219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op drie wijzen de som van opeenvolgende gehele getallen :

\begin{cases} 219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}34+35+36+37+38+39\\ 219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}72+73+74\\ 219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}109+110 \end{cases}

\(219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}71+73+75\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+6+10+15+21+28+36+45+55\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~D(2)+D(3)+\cdots+D(9)+D(10)\) (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

\(219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;1;7;13)\,(0;5;5;13)\,(0;7;7;11)\,(1;4;9;11)\,(1;5;7;12)\,(3;4;5;13)\,(3;5;8;11)\)

\(\qquad~~~~(5;5;5;12)\,(5;7;8;9))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#9\}\)

\(219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;0;0;{\color{blue}{1;1;1;6}})\,(0;0;0;0;0;{\color{blue}{3;4;4;4}})\,(0;0;0;1;1;1;3;4;5)\,(0;1;1;2;3;3;3;4;4)\)

\(\qquad~~~~(0;2;2;2;2;2;3;3;5)\,(1;1;1;2;2;2;4;4;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#6\}\)

\(\qquad~~~~\)(is het kleinste getal dat op twee verschillende wijzen als som van vier derdemachten kan worden geschreven)

\(219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}21*9+21+9\)

\(219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tribonacci_{(2,8,9)}[8]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}36+64+119\)

\(219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tetranacci_{(0,0,6,9)}[9]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15+30+60+114\)

\(219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}38^2-35^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{110^2-109^2}\)

\(219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~5\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{1^3+(-5)^3+7^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-4340)^3+(-8042)^3+8443^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-160766900)^3+(-638403062)^3+641783563^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{2961839875^3+4055585212^3+(-4525583744)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-709898125615472)^3+(-957035045343677)^3+1072694389443040^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\)(oplossingen met vijf vijfcijfer_termen door Joe Wetherell)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{6^5+(-17)^5+93^5+95^5+(-108)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-10935)^5+19131^5+21565^5+22093^5+(-26195)^5}\)

\(219^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[12^4][144^2]+165^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}73^3-584^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}365^2-292^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2669^2-2660^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7995^2-7992^2\)

\(219^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3650^2-1679^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8322^2-7665^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{24090^2-23871^2}\)

De eerste keer dat er \(219\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(47326693\)
en \(47326913\) met aldus een priemkloof van \(220\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{219}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(2250^{\large{219}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2250\qquad\qquad~sdc\left(3565^{\large{219}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3565\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(219\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,(),\)^^\(\)
\(219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(2\)^^\(1)*9+(2\)^^\(1)+9\)

\(\begin{align}219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{17}{3}}\right)^3+\left({\frac{10}{3}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{658313}{107586}}\right)^3-\left({\frac{232577}{107586}}\right)^3\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) (Links uit OEIS A060838)

\((x^3+y^3)/z^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}219\to\)
\(b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{4}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1169352032164408158224~~\)
(OEIS A236067)

Het getal \(219^n+2\) is priem voor de drie eerste priemgetallen \((2, 3, 5)\) :
\begin{align} 219^2+2&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}47963\\ 219^3+2&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10503461\\ 219^5+2&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}503756397101 \end{align}

Er zijn \(219\) partities van het getal \(37\) enkel bestaande uit sommen van priemgetallen.

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1+1)*(111-1)-1\)
\(\qquad\qquad219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}222-2-2/2\)
\(\qquad\qquad219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3+3)^3+3\)
\(\qquad\qquad219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}44+4*44-4/4\)
\(\qquad\qquad219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}55*5-55-5/5\)
\(\qquad\qquad219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6*6*6+6*6/(6+6)\)
\(\qquad\qquad219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}77+7+7+((7+7)/7)^7\)
\(\qquad\qquad219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}88+8*(8+8)-8+88/8\)
\(\qquad\qquad219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}99+9+999/9\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+2+3*4*5+67+89\)
\(\qquad\qquad219\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+87+6+54+3*21\)

(multigrades) \(219\to5062178349~~\text{(pannumerisch)}\to\)

\begin{aligned} 2^1+12^1+63^1+63^1+79^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}20^1+24^1+30^1+61^1+84^1\\ 2^5+12^5+63^5+63^5+79^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}20^5+24^5+30^5+61^5+84^5 \end{aligned}

(multigrades) \(219\to5613270849~~\text{(pannumerisch)}\to\)

\begin{aligned} 7^1+24^1+34^1+73^1+81^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^1+17^1+38^1+67^1+84^1\\ 7^5+24^5+34^5+73^5+81^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^5+17^5+38^5+67^5+84^5 \end{aligned}

(vier multigrades) \(219\to219^5\to\)

\begin{aligned} 219^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-80^1+132^1+154^1-270^1+283^1\\ 219^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-80^5+132^5+154^5-270^5+283^5\\ \\ 219^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-18^1-101^1+384^1+406^1-452^1\\ 219^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-18^5-101^5+384^5+406^5-452^5\\ \\ 219^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}73^1-651^1+909^1+916^1-1028^1\\ 219^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}73^5-651^5+909^5+916^5-1028^5\\ \\ 219^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}657^1+1953^1-2727^1-2748^1+3084^1\\ 219^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}657^5+1953^5-2727^5-2748^5+3084^5\\ \end{aligned}

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}219\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\({\qquad\color{darkviolet}{74}}^2-219*{\color{darkviolet}{5}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

(OEIS A001913) (OEIS A051626) (OEIS A060284)

("In case anyone was curious - inverse.txt" by Philip Clarke)

Splitst men deze periode van \(8\) cijfers in twee gelijke groepen van \(4\) cijfers dan is de som gelijk aan repdigit

\(0045+6621\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{indigo}{6666}}\)

  WETENSWAARD  

\(219+438\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}657\) \((A+2A\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3A)\) gebruikt alle cijfers van \(1\) tot \(9\).
Er zijn nog drie gelijkaardige sommen. Zie 192.11 273.6 327.5

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭