\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op drie wijzen de som van opeenvolgende gehele getallen :

\begin{cases} 220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25\\ 220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24+25+26+27+28+29+30+31\\ 220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}42+43+44+45+46 \end{cases}

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op drie wijzen de som van opeenvolgende pare getallen :

\begin{cases} 220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10+12+14+16+18+20+22+24+26+28+30\\ 220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}40+42+44+46+48\\ 220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}52+54+56+58 \end{cases}

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op twee wijzen de som van opeenvolgende onpare getallen :

\begin{cases} 220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13+15+17+19+21+23+25+27+29+31\\ 220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}109+111 \end{cases}

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}47+53+59+61\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8+13+21+34+55+89\) (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+3+6+10+15+21+28+36+45+55\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(1)+D(2)+\cdots+D(9)+D(10)\)

\(\qquad~~~~\)(som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((1;1;7;13)\,(1;5;5;13)\,(1;7;7;11)\,(2;2;4;14)\,(2;4;10;10)\,(2;6;6;12)\,(3;3;9;11)\)

\(\qquad~~~~(3;7;9;9)\,(5;5;7;11))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#9\}\)

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;0;1;1;1;1;6)\,(0;0;0;0;1;3;4;4;4)\,(0;0;1;1;1;1;3;4;5)\,(1;1;1;2;3;3;3;4;4)\)

\(\qquad~~~~(1;2;2;2;2;2;3;3;5))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#5\}\)

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+2^4+14^2\)

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}eulerphi(253,363,484,506,726)\)

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}fibonacci_{(0,4)}[11]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}84+136\)

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tribonacci_{(0,0,5}[10]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}35+65+120\)

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tetranacci_{(0,0,1,3)}[11]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}16+31+59+114\)

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2!^2+3!^3\)

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(10*11*12)/6\) (tetraëder getal) (OEIS A000292)

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+6^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^8][4^4][16^2]-6^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}56^2-54^2\)

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad~~~~\)Getallen van de vorm \(~9m+4~\) of \(~9m+5~\) kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

\(\qquad~~~~\)In dit geval is \(m\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24~~(+4)\).

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vier derdemachten)

\(\qquad~~~~(z\gt1000)\)

\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(220^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[5^8][25^4][625^2]-585^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}132^2+176^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}221^2-21^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}275^2-165^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}292^2-192^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}319^2-231^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~~\,509^2-459^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}572^2-528^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1111^2-[33^4][1089^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1220^2-1200^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2425^2-2415^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~~\,3029^2-3021^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6052^2-6048^2\)

\(220^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3311^2-561^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3331^2-669^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3410^2-990^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3520^2-1320^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3662^2-1662^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3718^2-1782^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~~\,3905^2-2145^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5005^2-3795^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5390^2-4290^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5824^2-4824^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5984^2-5016^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6490^2-5610^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~~\,7055^2-6255^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9955^2-9405^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{24310^2-24090^2}\)

Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\)
\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(55+1)+(55-1)+(55*1)+(55/1)\)

\(220\) is een getal dat gelijk is aan \(55\) maal de som van zijn cijfers : \(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}55*(2+2+0)\)

Andere getallen met dezelfde eigenschap zijn \(110,330,440,550,605,660,715,770,825,880,935\) en \(990\)

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{220}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(2260^{\large{220}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2260\qquad\qquad~sdc\left(3445^{\large{220}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3445\qquad\qquad~sdc\left(3475^{\large{220}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3475\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(220\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,(),\)^^\(\)
\(220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(2\)^^\(0\)^^\(0)+(2\)^^\(2)-2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(2\)^^\(2)*(2\)^^\(0)/2+0\)

\(220\) is de som van 'de som der delers' van de getallen van \(1\) tot \(16\) :

\((1)+(1+2)+(1+3)+(1+2+4)+(1+5)+(1+2+3+6)+(1+7)+(1+2+4+8)+(1+3+9)~+\)

\((1+2+5+10)+(1+11)+(1+2+3+4+6+12)+(1+13)+(1+2+7+14)+(1+3+5+15)~+\)

\((1+2+4+8+16)\)

(OEIS A024916)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met o.a. dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1+1)*(111-1)\)
\(\qquad\qquad220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}222-2\)
\(\qquad\qquad220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3+3)^3+3+3/3\)
\(\qquad\qquad220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}44+4*44\)
\(\qquad\qquad220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}55*(5-5/5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}55*5-55\)
\(\qquad\qquad220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6+6*6*6-(6+6)/6\)
\(\qquad\qquad220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}77*(7+7+7-7/7)/7\)
\(\qquad\qquad220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(888-8)*(8+8)/(8*8)\)
\(\qquad\qquad220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}99*(9+99/9)/9\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1*2*34+56+7+89\)
\(\qquad\qquad220\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9*8+76+5+4+3*21\)

(drie multigrades) \(220\to220^5\to\)

\begin{aligned} 220^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}65^1-90^1+255^1+320^1-330^1\\ 220^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}65^5-90^5+255^5+320^5-330^5\\ \\ 220^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}118^1-684^1+792^1+1520^1-1526^1\\ 220^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}118^5-684^5+792^5+1520^5-1526^5\\ \\ 220^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-260^1-740^1+1260^1+1940^1-1980^1\\ 220^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-260^5-740^5+1260^5+1940^5-1980^5\\ \end{aligned}

Een interessante bijdrage van Alexandru Petrescu
Aan elk pandigitaal getal (zonder de nul) \(abcdefghi\) kunnen we een vierkantige tabel koppelen.

Slechts acht 'ninedigitals' leveren een magisch vierkant op (met magische constante \(15\)) namelijk
\(276951438,294753618,438951276,492357816,618753294,672159834,816357492,834159671\).

Voor elk bovenstaande magisch vierkant bouwen we vervolgens twee sets van vier \(2\)-cijfer getallen op de volgende
geïllustreerde wijze waarbij we \(276951438\) als voorbeeld nemen. We beginnen rechtsboven :

Set \(1\) → Met de klok mee noteren we de getallen twee per twee → \(27;61;83;49\)

Set \(2\) → Tegen de klok in ontwaren we → \(29;43;81;67\)

Met behulp van deze getallenreeksen verkrijgen we een 'multigrade' vergelijking.

(drie multigrades) \(220\to13740\to936100\to\)

\begin{aligned} 27^1+61^1+83^1+49^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}29^1+43^1+81^1+67^1\\ 27^2+61^2+83^2+49^2&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}29^2+43^2+81^2+67^2\\ 27^3+61^3+83^3+49^3&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}29^3+43^3+81^3+67^3\\ \end{aligned}

De zeven andere magische vierkanten leiden tot dezelfde 'multigrade' vergelijking.

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}220\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\({\qquad\color{darkviolet}{89}}^2-220*{\color{darkviolet}{6}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

(OEIS A001913) (OEIS A051626) (OEIS A060284)

("In case anyone was curious - inverse.txt" by Philip Clarke)

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭