\(231\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op zeven wijzen de som van opeenvolgende gehele getallen :

\begin{cases} 231=1+2+3+4+5+6+7+8+9+\dots+13+14+15+16+17+18+19+20+21\\ 231=10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23\\ 231=16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26\\ 231=30+31+32+33+34+35+36\\ 231=36+37+38+39+40+41\\ 231=76+77+78\\ 231=115+116\\ \end{cases}

\(231\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op drie wijzen de som van opeenvolgende onpare getallen

\begin{cases} 231=11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31\\ 231=27+29+31+33+35+37+39\\ 231=75+77+79 \end{cases}

\(231\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+2+3+5+8+13+21+34+55+89\) (som van opeenvolgende fibonaccigetallen)

\(231\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}11*(1+2+3+4+5+6)\)

\(231\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+6^2+5^2+4^2+3^2+2^2+1^2\)

\(231\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((1;1;2;15)\,(1;3;5;14)\,(1;3;10;11)\,(1;5;6;13)\,(1;7;9;10)\,(2;3;7;13)\,(2;5;9;11)\)

\(\qquad~~~~(5;5;9;10)\,(5;6;7;11))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#9\}\)

\(231\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+3^3+14^2\)

\(231\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;1;2;2;2;3;3;3;5)\,(1;1;1;1;1;1;1;2;6)\,(1;1;1;1;2;3;4;4;4)\,(1;1;2;2;2;2;2;4;5))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#4\}\)

\(231\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^8][4^4][16^2]-5^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}20^2-13^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}40^2-37^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{116^2-115^2}\)

\(231\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~3\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-344065)^3+(-711814)^3+737660^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-1575753439)^3+(-2054157175)^3+2325749525^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-615829320769)^3+(-3066183169168)^3+3074441541338^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(231\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px red dashed]{0^5+(-4)^5+(-6)^5+(-6)^5+7^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px red dashed]{0^5+3^5+(-13)^5+(-16)^5+17^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(231^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}21^3+210^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}33^3+132^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}253^2-22^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}255^2-108^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}281^2-160^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}319^2-220^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}357^2-42^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;385^2-308^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}455^2-392^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}519^2-60^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}569^2-520^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}825^2-792^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1281^2-1260^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;1925^2-154^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2431^2-2420^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2969^2-2960^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3815^2-3808^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8895^2-8892^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9933^2-462^3\)

\(231^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3520^2-253^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3540^2-453^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3696^2-1155^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4004^2-1925^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4620^2-3003^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;5296^2-3965^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5320^2-3997^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6204^2-5115^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6504^2-5475^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7700^2-6853^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;9240^2-8547^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\dots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{26796^2-26565^2}\)

\(231\) is niet enkel een driehoeksgetal (OEIS A000217)
maar ook een hexagonaal (OEIS A000384) en octaëdrisch getal (OEIS A005900).

\(231*75\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}17325~~\) (zelfde cijfers)

\(231\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{darkmagenta}{333-33*3-3}}\)
\(231\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{darkmagenta}{777-77*7-7}}\)
Bovenstaand patroon heeft de vorm \({\color{magenta}{AAA-AA*A-A}}\) waarin \(A=3\) en \(A=7\). Hoe zit het met andere cijfers ?
We kunnen de vorm herschrijven als \(111*A-11*A*A-A\) of \(110A-11A^2\) en dat laatste is ook
te schrijven als \(11A*(10-A)\). Nu halen we het volgende truukje uit :
We vervangen de waarde van \(A\) door de waarde van \(B\), waarbij \(B=10-A\) of anders geschreven \(A=10-B\)
Er komt dan \(11A*(10-A)=11*(10-B)*(10-(10-B))\). Als we dit laatste uitwerken komt er te staan :
\(11B*(10-B)\). Dat betekent dat we zowel met \(A\) als met \(B\) ( dat gelijk is aan \(10-A\) ) hetzelfde resultaat krijgen.
Het betekent ook dat het getal \(231\) voor deze eigenschap niet uniek is. En inderdaad :
we vinden bvb. met \(A=1\) dat \(11A*(10-A)=11*1*9=99\) en ook dat met \(B=9\) men heeft \(11*9*1=99\).
Dus krijgen we : \(99={\color{darkmagenta}{111-11*1-1}}\) en ook \(99={\color{darkmagenta}{999-99*9-9}}\)
Zo ook : \(176={\color{darkmagenta}{222-22*2-2}}\) en \(176={\color{darkmagenta}{888-88*8-8}}\)
en verder \(264={\color{darkmagenta}{444-44*4-4}}\) en \(264={\color{darkmagenta}{666-66*6-6}}\) en tenslotte \(275={\color{darkmagenta}{555-55*5-5}}\)

\(231^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}42^2+126^2+189^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}617^2+666^2-878^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2-53^2+237^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\)

De eerste keer dat er \(231\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(525436489\)
en \(525436721\) met aldus een priemkloof van \(232\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

\(\begin{align}231\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{818567}{129186}}\right)^3-\left({\frac{369503}{129186}}\right)^3\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) (Links uit OEIS A060838)

\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{231}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(k^{\large{231}}\right)=k~~\to\) Nihil voor \(k\gt1\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(231\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,(),\)^^\(\)
\(231\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(2\)^^\(3\)^^\(1)+3-2-1\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad231=11*(11+11-1)\)
\(\qquad\qquad231=(22^2-22)/2\)
\(\qquad\qquad231=33*(3+3)+33\)
\(\qquad\qquad231=44+4*44+44/4\)
\(\qquad\qquad231=5*(55-5-5)+5+5/5\)
\(\qquad\qquad231=66*(6*6+6)/(6+6)\)
\(\qquad\qquad231=77+77+77\)
\(\qquad\qquad231=8*(8+8)-8+888/8\)
\(\qquad\qquad231=9*(9+9+9)-(99+9)/9\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad231=12+3*45+67+8+9\)
\(\qquad\qquad231=98+7+6*5*4+3+2+1\)

(multigrades) \(231\to16681039431\to\)

\begin{align} 39^1+92^1+100^1&=49^1+75^1+107^1\\ 39^5+92^5+100^5&=49^5+75^5+107^5 \end{align}

\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}231\to\)
\(b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{2}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)
\(3762027436085003982902~~\)(OEIS A236067)

\({\Large\frac{1}{231}}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{3}{7}-\frac{1}{3}-\frac{1}{11}}\)

(multigrades) \(231\to231^5\to\)

\begin{aligned} 231^1&=571^1+625^1-1118^1-1122^1+1275^1\\ 231^5&=571^5+625^5-1118^5-1122^5+1275^5\\ \end{aligned}

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}231\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\({\qquad\color{darkviolet}{76}}^2-231*{\color{darkviolet}{5}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

Uit rubriek 1.17 weten we dat we \(1\) kunnen schrijven als een som van negen reciproken :

\(\qquad1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/35+1/45+1/231\)

Het is de enige configuratie om \(1\) met alleen onpare noemers \(\leqslant231\) uit te drukken.

Noteer dat de noemer van de laatste negende breuk, wel ja, ons paginagetal \(~{\color{blue}{231}}~\) is.

(Fractions égyptiennes de somme égale à \(1\) - impair)

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭