\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) als som van opeenvolgende gehele getallen op vier verschillende wijzen :

\begin{cases} 324=2+3+4+5+6+7+8+9+10+\cdots+17+18+19+20+21+22+23+24+25\\ 324=32+33+34+35+36+37+38+39+40\\ 324=37+38+39+40+41+42+43+44\\ 324=107+108+109 \end{cases}

\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) als som van opeenvolgende pare getallen op vier verschillende wijzen :

\begin{cases} 324=16+18+20+22+24+26+28+30+32+34+36+38\\ 324=28+30+32+34+36+38+40+42+44\\ 324=78+80+82+84\\ 324=106+108+110 \end{cases}

\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) als som van opeenvolgende onpare getallen op drie verschillende wijzen :

\begin{cases} 324=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35\\ 324=49+51+53+55+57+59\\ 324=161+163 \end{cases}

\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}73+79+83+89\) (som van opeenvolgende priemgetallen)

\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}153+171\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(17)+D(18)\) (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;18)\,(0;2;8;16)\,(0;6;12;12)\,(0;8;8;14)\,(1;3;5;17)\,(1;7;7;15)\,(1;9;11;11)\)

\(\qquad~~~~(3;3;9;15)\,(3;5;11;13)\,(4;4;6;16)\,(4;8;10;12)\,(5;5;7;15)\,(5;7;9;13)\,(9;9;9;9))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#14\}\)

\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;0;3;3;3;3;6)\,(0;0;0;1;1;2;4;5;5)\,(0;0;0;1;2;2;3;4;6)\,(0;0;3;3;3;3;3;4;5)\)

\(\qquad~~~~(0;1;2;2;3;3;4;4;5)\,(1;1;1;1;4;4;4;4;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#6\}\)

\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^4+3^4+3^4+3^4\)

\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+3^3+17^2\)

\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+2^6+2^8\)

\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(23+4)*3*4\)

\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}36*(3+6)~~\) (\(36\) is een deler van \(324\))

\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(42/2-3)^2\)

\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2*9^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2*3^4\)

\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^7+14^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^4][9^2]+3^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10^3-26^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}14^2+2^7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}30^2-24^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}82^2-80^2 = 90^2-6^5\)

\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~23\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(324^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}351^2-135^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}405^2-[3^{10}][9^5][243^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}540^2-432^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}765^2-693^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}999^2-945^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1476^2-1440^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;2199^2-2175^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2925^2-2907^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4380^2-4368^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6565^2-6557^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8751^2-8745^2\)

\(324^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6075^2-1701^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6318^2-2430^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7290^2-4374^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7857^2-5265^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9720^2-[6^{10}][36^5][7776^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\;\cdots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{52650^2-52326^2}\)

\(324^3=36^3+216^3+288^3\)

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
\(324=18^2\). Als men de cijfers van \(324\) in een andere volgorde zet, dan komt er een bepaald getal tot een zekere macht uit. Welk getal is dat ?
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
Van \(324\) maken we \(243=3^5\)
Merkwaardig is ook dat \(432=2^4*3^3\)

\(324=18^2~\) en \(~(3+2+4)*2=18\). Er zijn twee getallen waarbij twee maal de som van de cijfers gelijk is aan de vierkantswortel van het getal. Naast \(324\) is er ook nog \(1296 = ((1+2+9+6)*2)^2\). Zie ook bij 81.6

Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\)
\(324=(32+8)+(32-8)+(32*8)+(32/8)\)
\(324=(45+5)+(45-5)+(45*5)+(45/5)\)
\(324=(72+2)+(72-2)+(72*2)+(72/2)\)
\(324=(81+1)+(81-1)+(81*1)+(81/1)\)

\(324\) is het kleinste getal dat gelijk is aan \(36\) maal de som van zijn cijfers : \(324=36*(3+2+4)\)
Eén ander getal met dezelfde eigenschap is \(648~~\) (OEIS A005349 - Harshad getallen)

\(\begin{aligned}324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{89}{13}}\right)^3+\left({\frac{19}{13}}\right)^3\end{aligned}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) (Links uit OEIS A060838)

\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{324}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(k^{\large{324}}\right)=k~~\to\) Nihil voor \(k\gt1\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(324\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,(),\)^^
\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3\)^^\(2\)^^\(4)*(3+2-4)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3+2+4)*((3\)^^\(2)+4)\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad324=((1+1)*(11-1-1))^{(1+1)}\)
\(\qquad\qquad324=(2^{(2+2)}+2)^2~~{\small\color{green}{(Origineel~{\color{red}{(2^{(2+2)}+2)^2\,-\,2}}~~is~onjuist)}}\)
\(\qquad\qquad324=3*3*(33+3)\)
\(\qquad\qquad324=4*(4-4/4)^4\)
\(\qquad\qquad324=(5+5/5)*(55-5/5)\)
\(\qquad\qquad324=6*(66-6-6)\)
\(\qquad\qquad324=(77/7+7)^{((7+7)/7)}\)
\(\qquad\qquad324=(8+8+(8+8)/8)^{((8+8)/8)}\)
\(\qquad\qquad324=(9+9)*(9+9)\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad324=123+45+67+89\)
\(\qquad\qquad324=9*(8+7)+6+54*3+21\)

\(324!-1\) is een priemgetal, de dertiende in zijn soort \((k!-1)~~\) (OEIS A002982)

\(324\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}18^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{19!\,-\,18!}{17!}}\)

\({\color{blue}{324}}+325+326+327+328+329+330+331+332+333+334+335+336+337+338+339+340+341+342=\)

\(343+344+345+346+347+348+349+350+351+352+353+354+355+356+357+358+359+360=\)\(~~{\color{tomato}{6327}}\)

Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende gehele getallen.

Dit is een eigenschap van de kwadraten zoals \(k=324=18^2\). De linkersom heeft \(\sqrt{k}+1\) termen en de rechtersom \(\sqrt{k}\).

(OEIS A059270)

Product van \(171\), een driehoeksgetal van rang \(18\), en de som van de reciproken van de \(18\) kleinste driehoeksgetallen :

\(171*\left({\Large{\frac{1}{1}}+{\frac{1}{3}}+{\frac{1}{6}}+{\frac{1}{10}}+\cdots+{\frac{1}{136}}+{\frac{1}{153}}+{\frac{1}{171}}}\right)=324\).

Pari/GP code : 171*sum(d=1,18,1/((d*d+d)/2))

De vierdemacht van \(324\) is het gemiddelde tussen een derdemacht en een vijfdemacht.

\(\Large\frac{1944^3+108^5}{2}\)

Het kleinste getal met deze eigenschap is 162.11 en de volgende is pas 3888.--.   (OEIS A274027)

(vijf multigrades) \(324\to324^5\to\)

\begin{aligned} 324^1&=-18^1+144^1+168^1-372^1+402^1\\ 324^5&=-18^5+144^5+168^5-372^5+402^5\\ \\ 324^1&=116^1-201^1+419^1+647^1-657^1\\ 324^5&=116^5-201^5+419^5+647^5-657^5\\ \\ 324^1&=159^1-543^1+738^1+1014^1-1044^1\\ 324^5&=159^5-543^5+738^5+1014^5-1044^5\\ \\ 324^1&=234^1-792^1+918^1+1152^1-1188^1\\ 324^5&=234^5-792^5+918^5+1152^5-1188^5\\ \\ 324^1&=-162^1-606^1+1176^1+1464^1-1548^1\\ 264^5&=-162^5-606^5+1176^5+1464^5-1548^5\\ \end{aligned}

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭