\(327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}52+53+54+55+56+57\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}108+109+110\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}163+164\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}107+109+111\) (som van opeenvolgende onpare getallen)

\(327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((1;1;1;18)\,(1;1;6;17)\,(1;1;10;15)\,(1;3;11;14)\,(1;6;11;13)\,(1;7;9;14)\,(2;3;5;17)\)

\(\qquad~~~~(2;7;7;15)\,(2;9;11;11)\,(3;7;10;13)\,(5;5;9;14)\,(5;9;10;11)\,(6;7;11;11))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#13\}\)

\(327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;1;1;2;4;4;4;5)\,(0;1;1;1;3;3;3;3;6)\,(0;3;3;3;3;3;4;4;4)\,(1;1;1;1;1;2;4;5;5)\)

\(\qquad~~~~(1;1;1;1;2;2;3;4;6)\,(1;2;2;3;3;4;4;4;4))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#6\}\)

\(327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}fibonacci_{(1,9)}[10]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}125+202\)

\(327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tribonacci_{(1,7,1)}[10]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}53+97+177\)

\(327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tetranacci_{(0,6,7,0)}[10]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}26+46+85+170\)

\(327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^3-[2^4][4^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}56^2-53^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{164^2-163^2}\)

\(327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~4\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-2)^3+(-2)^3+7^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-11889640826)^3+(-14840943401)^3+17042033434^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-55495503315494)^3+(-170547806910404)^3+172484397062815^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px solid]{(-23497102374545)^3+(-608821354548722)^3+608833020860980^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{2^5+(-3)^5+(-3)^5+(-3)^5+4^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(327^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}109^3-1090^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}180^2+273^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}359^2-28^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}545^2-436^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5945^2-5936^2\)

\(327^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7412^2-4469^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{53628^2-53301^2}\)

De eerste keer dat er \(327\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen
\(13086861181~\) en \(~13086861509\) met aldus een priemkloof van \(328\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

\(327~\) en de veelvouden \(~2*327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}654~\) en \(~3*327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}981~\) hebben samen \(9\) verschillende cijfers.

\((A+2A\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3A)\) geeft \(327+654\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}981\)

Er bestaan nog drie andere gelijksoortige opoplossingen. Zie bij 192.11 219.23 273.6

\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}327\to\)
\(b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{3}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}131134283517155206633~~\)
(OEIS A236067)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{327}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(1900^{\large{327}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1900\qquad\qquad~sdc\left(3590^{\large{327}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3590\qquad\qquad~sdc\left(5427^{\large{327}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5427\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(327\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,(),\)^^
\(327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3\)^^\(2\)^^\(7)*(7-2*3)\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met o.a. dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1+1+1)*(111-1-1)\)
\(\qquad\qquad327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(2^{(2+2)}+2)^2+2+2/2\)
\(\qquad\qquad327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}333-3-3\)
\(\qquad\qquad327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^4+4+4+(4^4-4)/4\)
\(\qquad\qquad327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5+5+5+(5^5-5)/(5+5)\)
\(\qquad\qquad327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6*66-66-(6+6+6)/6~~{\small\color{green}{(Origineel~{\color{red}{6*66+6*66/6}}~is~onjuist)}}\)
\(\qquad\qquad327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7*7*7-7-7-(7+7)/7\)
\(\qquad\qquad327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8*(8+8)+88+888/8\)
\(\qquad\qquad327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(9+9)*(9+9)+(9+9+9)/9\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+23+4+5*6*7+89\)
\(\qquad\qquad327\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9*8+7*6*5+43+2*1\)

Pari/GP code : {pl=[];forprime(i=1000,9999,pl=concat(pl,digits(i)));
cnt=0;for(i=1,#pl,if(pl[i]==5,cnt++));print(cnt)}

(vier multigrades) \(327\to327^5\to\)

\begin{aligned} 327^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}41^1+77^1+179^1-377^1+407^1\\ 327^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}41^5+77^5+179^5-377^5+407^5\\ \\ 327^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}72^1+105^1+120^1-381^1+411^1\\ 327^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}72^5+105^5+120^5-381^5+411^5\\ \\ 327^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-63^1-75^1+504^1+600^1-639^1\\ 327^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}-63^5-75^5+504^5+600^5-639^5\\ \\ 327^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}735^1+771^1-1235^1-1681^1+1737^1\\ 327^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}735^5+771^5-1235^5-1681^5+1737^5\\ \end{aligned}

Kleinste oplossing voor de positieve Pell vergelijking \(x^2-D*y^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1~\) met \(D\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}327\).

Als \(D\) een kwadraat is dan zijn er geen oplossingen.

\({\qquad\color{darkviolet}{217}}^2-327*{\color{darkviolet}{12}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\)

(Pell equation solver)

(OEIS A001913) (OEIS A051626) (OEIS A060284)

("In case anyone was curious - inverse.txt" by Philip Clarke)

Splitst men deze periode van \(108\) cijfers in twee gelijke groepen van \(54\) cijfers dan is de som gelijk aan repdigit

\({\color{indigo}{666666666666666666666666666666666666666666666666666666}}\)

Splitst men deze periode van \(108\) cijfers in vier gelijke groepen van \(27\) cijfers dan is de som gelijk aan

\(003058103975535168195718654+434250764525993883792048929~+\)
\(~\,663608562691131498470948012+232415902140672782874617737\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\({\color{red}{1}}{\color{indigo}{33333333333333333333333333}}{\color{red}{2}}\)

hetgeen een repdigit wordt als we het eerste cijfer bij het laatste cijfer optellen (of omgekeerd).

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭