\(361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) als som van opeenvolgende gehele getallen op twee verschillende wijzen :

\begin{cases} 361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10+11+12+13+14+15+16+17+\cdots+21+22+23+24+25+26+27+28\\ 361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}180+181 \end{cases}

\(361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37\)

\(\qquad~~~~\)(som van opeenvolgende onpare getallen)

\(361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}105+120+136\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}171+190\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(14)+D(15)+D(16)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(18)+D(19)\)

\(\qquad~~~~\)(som van opeenvolgende driehoeksgetallen getallen op twee verschillende wijzen)

\(361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;19)\,(0;1;6;18)\,(0;6;6;17)\,(0;6;10;15)\,(1;2;10;16)\,(1;8;10;14)\,(2;2;8;17)\)

\(\qquad~~~~(3;8;12;12)\,(4;5;8;16)\,(4;7;10;14)\,(6;6;8;15)\,(6;9;10;12)\,(8;8;8;13))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#13\}\)

\(361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;0;1;1;2;2;7)\,(0;0;0;0;3;3;3;4;6)\,(0;0;0;1;2;2;4;4;6)\,(0;0;3;3;3;3;4;4;5)\)

\(\qquad~~~~(0;1;1;1;1;2;2;5;6)\,(0;1;2;2;3;4;4;4;5)\,(1;1;1;3;3;3;3;5;5)\,(1;1;2;3;3;3;3;3;6))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#8\}\)

\(361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(6!+2!)/2!\)

\(361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3*6+1)^2\)

\(361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3*4*5*6+1~~\)(OEIS A062938)

\(361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}fibonacci_{(9,1)}[11]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}138+223\)

\(361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tribonacci_{(0,5,4)}[10]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}58+107+196\)

\(361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}tetranacci_{(0,0,8,5)}[10]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}26+52+96+187\)

\(361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{181^2-180^2}~~\) (enige oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) )

\(361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad~~~~16\) oplossingen bekend

\(\qquad~~~~\)References Sum of Three Cubes

\(361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad~~~~\)(fully searched up to \(z=1000)\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-1)^5+(-30)^5+33^5+41^5+(-42)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad~~~~\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-1841)^5+(-2282)^5+2945^5+3481^5+(-3652)^5}\)

\(361^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3439^2-3420^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}57^3-38^3\)

\(361^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(~x^m\pm~y^n~\) heeft geen oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19~)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\cdots\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{65341^2-64980^2}\)

\(361\) is een kwadraat, dat geschreven wordt met \(36\), het kwadraat van \(6\) en \(1\), het kwadraat van \(1\)

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Schrijf drie kwadraten (elk kwadraat is drie cijfers lang) zodat alle cijfers van \(1\) tot \(9\) slechts één maal gebruikt worden \(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
de kwadraten zijn : \(361~,~529~\) en \(~784\) \((361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19^2~,~529\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}23^2~\) en \(~784\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}28^2)\)

De eerste keer dat er \(361\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen
\(35877724601~\) en \(~35877724963\) met aldus een priemkloof van \(362\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

\(b\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}361\to\)
\(b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{7}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{9}\)\(+b\)\(^{3}\)\(+b\)\(^{0}\)\(+b\)\(^{8}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{6}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{5}\)\(+b\)\(^{1}\)\(+b\)\(^{4}\)\(+b\)\(^{2}\)\(+b\)\(^{4}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)
\(312672096972930846551424~~\) (OEIS A236067)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{361}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we :

\(\qquad\qquad~sdc\left(2200^{\large{361}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2200\qquad\qquad~sdc\left(4340^{\large{361}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4340\qquad\qquad~sdc\left(6121^{\large{361}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6121\)

\(\qquad\qquad~sdc\left(6175^{\large{361}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6175\qquad\qquad~sdc\left(6178^{\large{361}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6178\qquad\qquad~sdc\left(6203^{\large{361}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6203\)

\(\qquad\qquad~sdc\left(6257^{\large{361}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6257\qquad\qquad~sdc\left(6367^{\large{361}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6367\)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(361\) bij voorkeur met de basisoperatoren
\(361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3\)^^\(6\)^^\(6)-3-1-1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3+6+1)*(3\)^^\(6)+1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3*6+1)(3*6+1)\)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met dank aan Inder. J. Taneja).
\(\qquad\qquad361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((1+1)*(11-1)-1)^{(1+1)}\)
\(\qquad\qquad361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(22-2-2/2)^2\)
\(\qquad\qquad361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3+333+3/3\)
\(\qquad\qquad361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}44*(4+4)+4+4+4/4\)
\(\qquad\qquad361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(5+5/5)*(55+5)+5/5\)
\(\qquad\qquad361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6*(66-6)+6/6\)
\(\qquad\qquad361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7*7*7+7+77/7\)
\(\qquad\qquad361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(8+88/8)^{((8+8)/8)}\)
\(\qquad\qquad361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(9+9+9/9)^{((9+9)/9)}\)

Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
\(\qquad\qquad361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+234+5*6+7+89\)
\(\qquad\qquad361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9+8*7*6+5+4+3*2+1\)

\({\color{blue}{361}}+362+363+364+365+366+367+368+369+370+371+372+373+374+375+376+377+378+379+380\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(381+382+383+384+385+386+387+388+389+390+391+392+393+394+395+396+397+398+399\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)\(~~{\color{tomato}{7410}}\)

Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende gehele getallen.

Dit is een eigenschap van de kwadraten zoals \(k\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19^2\). De linkersom heeft \(\sqrt{k}+1\) termen en de rechtersom \(\sqrt{k}\).

(OEIS A059270)

\(361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{20!\,-\,19!}{18!}}\)

Product van \(190\), een driehoeksgetal van rang \(19\), en de som van de reciproken van de \(19\) kleinste driehoeksgetallen:

\(190*\left({\Large\frac{1}{1}}+{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{10}}+\cdots+{\Large\frac{1}{136}}+{\Large\frac{1}{153}}+{\Large\frac{1}{171}}+{\Large\frac{1}{190}}\right)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}361\).

Pari/GP code : 190*sum(d=1,19,1/((d*d+d)/2))

(OEIS A001913) (OEIS A051626) (OEIS A060284)

("In case anyone was curious - inverse.txt" by Philip Clarke)

Splitst men deze periode van \(342\) cijfers in twee gelijke groepen van \(171\) cijfers dan is de som van elk tweetal cijfers
onder elkaar steeds \(9\).

Uit rubriek 1.17 weten we dat we \(1\) kunnen schrijven als een som van negen reciproken met oneven noemers:

\(\bbox[navajowhite,3px,border:1px solid]{361\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+5+7+9+11+15+35+45+231}\)

\(1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{5}}+{\Large\frac{1}{7}}+{\Large\frac{1}{9}}+{\Large\frac{1}{11}}+{\Large\frac{1}{15}}+{\Large\frac{1}{35}}+{\Large\frac{1}{45}}+{\Large\frac{1}{231}}\)

Het is de enige configuratie om \(1\) met alleen onpare noemers \(\leqslant231\) uit te drukken.

Tellen we de noemers van deze negen breuken op dan bekomen we, wel ja, ons paginagetal \({\color{blue}{361}}\).

(Fractions égyptiennes de somme égale à \(1\) - impair)

⏮

⯬

⏴

⏵

⯮

⏭